Koordinatentransformation von Kugelkoordinatensystem in gedrehtes Kugelkoordinatensystem

Question

Hallo Mathelounge,

folgendes Problem: Mir sind Azimuthwinkel α und Polarwinkel β eines Kugelkoordinatensystems K_lokal gegeben, wobei immer Länge r' = 1 ist, es also nur um die Richtung geht. Diese lokalen Koordinaten möchte ich nun in ein globales Kugelkoordinatensystem K_global transformieren, in dem ebenfalls nur die durch Azimuthwinkel θ und Polarwinkel φ gegebene Richtung wichtig ist (also immer r = 1). K_lokal ist dabei gegenüber K_global so rotiert, dass die z-Achse von K_lokal in die durch die in K_global gegebenen Azimuthwinkel γ und Polarwinkel δ gegebene Richtung zeigt.

Schlussendlich möchte ich also θ und φ bei gegebenen α, β, γ und δ berechnen können.

Mein Ansatz ist folgender: Ich drücke Alpha und Beta in K_lokal durch kartesische Koordinaten (x', y', z') aus und wende darauf zuerst eine Rotation um Delta um die lokale z'-Achse und dann eine Rotation um Gamma um die dadurch mitgedrehte lokale y'-Achse - die so erhaltenen kartesischen Koordinaten (x, y, z) im globalen Koordinatensystem benutze ich dann, um Theta und Phi auszurechnen.

Das führt mich auf die Ausdrücke

$$\theta = \arccos(\sin\gamma \cos\delta \sin\alpha \cos\beta + \sin\gamma \sin\delta \sin\alpha \sin\beta + \cos\gamma \cos\alpha)$$

und

$$\phi = \arctan(-\sin\delta\sin\alpha \cos\beta + \cos\delta\sin\alpha\sin\beta, \,\,\,\cos\gamma\cos\delta\sin\alpha\cos\beta + \cos\gamma\sin\delta\sin\alpha\sin\beta - \sin\gamma\cos\alpha),$$

wobei der Arkustangens der winkelerhaltende arctan(y, x) ist.

Mir ist nun nur leider durch Einsetzen verschiedener Winkel aufgefallen, dass dieses Ergebnis nicht stimmen kann. Wenn ich sehr kleine α einsetze, dann ist φ immer sehr nahe bei 0, unabhängig davon, wie groß δ ist. Das kann aber eigentlich nicht sein, denn für sehr kleine α müsste eigentlich  φ ≈ δ gelten. Ich finde aber einfach meinen Denkfehler nicht - kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Standardkugelkoordinaten (Radius 1):

φ ∈ [0,2π] ;  θ ∈ [0,π]

x= cos(φ)*sin(θ)

y= sin(φ)*sin(θ)

z= cos(θ)

transormierte Koordinaten bei Drehung um Winkel α;β:

x´= cos(φ+α)*sin(θ+β) = cos(φ´)*sin(θ´)

y´= sin(φ+α)*sin(θ+β)= sin(φ´)*sin(θ´)

z´= cos(θ+β)= cos(θ´)

weil φ´=φ+α und θ´=θ+β  → φ´ ∈ [α,2π+α] ; θ´ ∈ [β,π+β]

Das ist das Schöne an Kugelkoordinaten, dass Rotationen sehr leicht ausgedrückt werden können :).