Herleitung einer Funktion dritten Grades mit 3 Unbekannten.

Question

:-)

Eigentlich bin ich nicht schlecht in Mathe, aber das neue Thema bereitet mir Kopfzerbrechen..

Die Aufgabe ist:

Die Produktionsfirma Atlanta möchte eine CD auf den Markt bringen und startet mit null Produktionseinheiten eine neue Produktionsreihe. Die Produktion erreicht nach fünf Monaten ein Maximum mit 100 Produktionseinheiten. Die Größte Produktionssteigerung wurde aber bereits nach zwei Monaten erreicht.

So, daraus habe ich schon ein paar Informationen holen können, dass zum Beispiel:

- die Funktion eine Nullstelle ( 0 l 0 ) hat

- den Hochpunkt ( 5 l 100 )

- den Wendepunkt bei ( 2 l ? ) hat.

soviel ich weiß brauch man mindestens drei Informationen/Punkte. Aber irgendwie weiß ich nicht wie man den y-Wert des Wendepunktes herbekommen kann..

 

Hoffe um schnelle Antwort.

 

LG Julian

Answer 1

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

 

f(0) = 0 => d = 0

f(5) = 100 = 125a + 25b +5c

f'(5) = 0 = 75a + 10b + c                          Wir brauchen 4 Informationen! Maximum, also 1. Ableitung = 0

f''(2) = 0 = 12a + 2b

 

125a + 25b + 5c = 100

75a + 10b + c = 0

12a + 2b = 0

 

a = -1

b = 6

c = 15

d = 0

 

f(x) = -x³ + 6x² + 15x

Answer 2

f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Unbekannte a,b,c,d

- die Funktion eine Nullstelle ( 0 l 0 ) hat

f(0) = 0

- den Hochpunkt ( 5 l 100 )

f(5) = 100

f ' (5) = 0

- den Wendepunkt bei ( 2 l ? ) hat.

f ''(2) = 0

sind 4 Bedingungen für deine 4 Unbekannten.

Jetzt musst du nur noch einsetzen und das Gleichungssystem auflösen. Das klappt jetzt wohl. Oder?

Answer 3

"3.Grad:- die Funktion eine Nullstelle ( 0 l 0 )   - den Hochpunkt H( 5 l 100 )  - den Wendepunkt bei ( 2 l ? ) hat."

Verschiebung um 100 Einheiten nach unten:

$H( 5 | 100 )$→$H´( 5 | 0 )$           Nullstelle $N( 0 | 0 )$→$N´( 0 |-100 )$

$f(x)=a*[(x-5)^2*(x-N)]$

$f(0)=a*(0-5)^2*(0-N)=-100$

$f(0)=-25*a*N=-100$      $a=\frac{4}{N}$

$f(x)=\frac{4}{N}*[(x-5)^2*(x-N)]$

$f´(x)=\frac{4}{N}*[(2x-10)*(x-N)+(x-5)^2]$

$f´´(x)=\frac{4}{N}*[(2x-2N)+(2x-10)+(2x-10)]$

Wendepunkt bei ( 2 l ? )

$f´´(2)=\frac{4}{N}*[(2*2-2N)+(2*2-10)+(2*2-10)]$

$\frac{4}{N}*[(4-2N)+(4-10)+(4-10)]=0$      $N=-4$     $a=-1$

$f(x)=-[(x-5)^2*(x+4)]$     

Verschiebung um 100 Einheiten nach oben:

$p(x)=-[(x-5)^2*(x+4)]+100$