Steckbriefaufgabe ganzrationale Funktion dritten Grades gesucht

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph zum Koordinatenursprung symmetrisch ist. Der Graph hat eine Nullstelle bei x=2, die Steigung in dieser Nullstelle beträgt 8.

Problem/Ansatz:

punktsymmetrisch → Exponenten ungerade

f(x)= a*x^3 + c*x

Bedingungen:

P(2/0) (Nullstelle)

f'(2)=8

Wenn es bis dahin richtig ist, dann hätte ich jetzt folgende Gleichung:

1. 0=a*2^3+x*2  =    0=8*a+2*c

2. 8=a*2^3+c*2  =    8=8*a+2*c

Und offensichtlich, kann das so nicht stimmen, oder? Aber wo liegt mein Fehler?

LG

Answer 1

die Steigung in dieser Nullstelle beträgt 8
...
2. 8=a*2³+c*2

Es ist

    f'(x) = 3ax² + c.

Einsetzen von x = 2 und f'(x) = 8 ergibt

    3a·2² + c = 8.

Comments

Achso, ich habe vergessen erst die 1. Ableitung zu bilden, richtig?

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So sieht's aus.

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Dankeschön, jetzt habe ich es wieder verstanden :)

Answer 2

Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph zum Koordinatenursprung symmetrisch ist. Der Graph hat eine Nullstelle bei \(x=\red{2}\), die Steigung in dieser Nullstelle beträgt \(\green{8}\).

Weg über die Nullstellenform der Parabel als Alternative:

Symmetrie zum Koordinatenursprung bedeutet Nullstelle bei \(x=0\) und Nullstelle bei  \(x=-2\)

\(f(x)=a x(x-2)(x+2)=ax(x^2-4)=a(x^3-4x)\)

\(f'(x)=a(3x^2-4)\)

\(f'(\red{2})=a(3\cdot4-4)=8a\)

\(8a=\green{8}\)  →  \(a=1\)

\(f(x)=x^3-4x\)