Hi,
erstmal zur punktweisen Konvergenz:
a)$$ \lim_{n\to\infty}{ f }_{ n,1 }=\lim_{n\to\infty} \frac { 1 }{ n^2+x^2+1 }=0 $$
Konvergiert also punktweise (weil der Grenzwert existiert)
b)$$\lim_{n\to\infty}{ f }_{ n,2 }=\lim_{n\to\infty} x^n*(1-x^n) = \lim_{n\to\infty}x^n-{ x }^{ 2n }=0$$ Der Grenzwert lautet Null, weil $$0\leq x\leq 1 $$
b) Jetzt, da wir die wir wissen dass die punktweise Konvergenz erfüllt ist, müssen wir die Grenzwerte in die Definition der gleichmäßigen Konvergenz einsetzten:
Def: Für alle ε>0 existiert ein N∈ℕ, sodass für alle n>N:
$$ |{ f }_{ n }(x)-f(x)|< ε$$
a)$$ |{ f }_{ n }(x)-f(x)|={ f }_{ n }(x)=\lim_{n\to\infty} \frac { 1 }{ n^2+x^2+1 }<\frac { 1 }{ n^2 }<ε$$
Also gleichmäßig konvergent, weil das für alle x gilt.
b)
$$ |{ f }_{ n }(x)-f(x)|={ f }_{ n }(x)=x^n-{ x }^{ 2n }$$
für x=1 oder x=0 ist dieser Term immer 0, also kleiner ε.
Für x ∈(0,1):
$$ x^n-{ x }^{ 2n } < x^n<ε $$
Das bedeuted also, dass für den Fall x=1 oder x=0 man N beliebig wählen kann( weil es für alle N gilt), aber für x ∈(0,1), muss man ein bestimmtes N wählen. Somit hängt es von x ab und widerspricht der Definition
