Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolgen gleichmäßig konvergent sind

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionenfolgen gleichmäßig konvergent sind (mit Begründung):

a) \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x)=\frac{n}{n^{2}+x^{2}} \)

b) \( f_{n}:[-10,10] \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x)=\frac{x^{2}+n x}{n} \)

Comments

Hallo,

bei solchen Aufgaben empfiehlt es sich meistens zunächst die punktweise Konvergenz zu untersuchen. D.h. man untersucht für jedes feste x aus dem Definitionsbereich, wohin \(f_n(x)\) für festes x konvergiert, wenn \(n \to \infty\) geht.. Also in der ersten Aufgabe zum Beispiel

$$f_n(1)=\frac{n}{n^2+1}, \quad f_n(3)=\frac{n}{n^2+9}, \quad f_n(10)=\frac{n}{n^2+100}$$

Und dann natürlich allgemein für beliebiges x aus dem Definitionsbereich.

Dann sagst Du uns, wie Ihr "gleichmäßige Konvergenz" definiert habt, irgendetwas mit \(\epsilon - \delta\) oder etwas mit Supremum?

Gruß