Ungleichung (3x+2)/(4x+8) ≤ 1/2 und Überprüfung

Question

Hi ich habe die Ungleichung (siehe Bild gleich oben).

Meine Lösungen stimmen mit denen bei Wolframalpha überein,  ich würde nur gerne wissen, ob das was ich aufgeschrieben habe auch so passt.

Answer 1

Du brauchst doch nur zwei Fälle, nämlich x< -2  und  x > -2

denn du multiplizierst ja mit dem Nenner. Und da geht es ja nur darum

ob du dabei das Vergleichszeichen umdrehen musst .

Ob der Zähler pos. oder neg. sit, ist ja egal.

Comments

Ja an sich schon, aber die drei Fälle sind auch in Ordnung oder?

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zeigt m.E. nicht die volle Einsicht.

Answer 2

leider hast du in den Grundannahmen schon einen
Fehler.

Zur Umstellung der Ungleichung ist eine Multiplikation
mit dem Nenner ( 4 * x+ 8 ) notwendig. Es muß nur
ermittelt werden wann der Nenner positiv oder negativ
ist bzw. null wird.
Der Zähler muß nicht  untersucht werden.




Die Ungleichung kann zu Prüfzwecken umgeschrieben
werden zu.
( 3x + 2 ) / ( 4x + 8 ) - 1/2 <= 0
Im Graph ist alles unterhalb der x-Achse die Lösung

~plot~ ( 3*x + 2 ) / ( 4*x + 8 ) - 1/2 ~plot~

mfg Georg

Die andere Aufgabe steht noch aus.

Comments

Vorschlag :
Mach jeden Tag ( nur ) eine Aufgabe

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Ah schade, ich hatte mich schon gefreut. ICh bin nach dem Schema der anderen Ungleichungen vorgegangen, wo wir noch zusätzlich einen Betrag hatten, da haben wir dann Zähler und Nenner betrachtet.

Ich suche halt nach einem Schema, nach dem ich immer vorgehen kann.

Ich denke bei normalen Bruchungleichungen Nenner<>0 und rechnen..

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Das Schema ist immer daselbe.

Bei einem Term in Betragszeichen nachsehen wann dieser 0 ist.

Muß bei einer UNGLEICHUNG durch einen Term dividiert oder
multipliziert werden kommt es darauf an ob der Term positiv oder
negativ ist.
Die Nullstelle ist auch zu berücksichtigen.
Term positiv : keine Umdrehung des Vergleiszeichens
Term negativ  : Umdrehung des Vergleiszeichens

Am besten wird üben an verschiedenen Ungleichungen nur die
Feststellung der Fälle.

Alles andere sind nur Folgefehler in deinen Rechnungen.

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Ich würde gerne  mit dir weiter über, das bringt mich deutlich weiter!

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Für welche Terme müssen Fallunterscheidungen
getroffen werden und warum ?

a.) ( x +2 ) / ( x -1 ) > ( x +3 ) / ( x - 4 )

b.)  ( x +2 ) / ( x -1 ) > |  x +3 | / ( x - 4 )

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Mir fallen gleich mehrere Möglichkeiten ein:

für a rechten Teil subtrahieren und Vorzeichentabelle

A: x<1 und 1<x<4 x>4

B: x<-3 und -3<x<1 und x>1

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Ist das so richtig?

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Die richtigen Antworten sind

a.) ( x +2 ) / ( x -1 ) > ( x +3 ) / ( x - 4 )
Zur Lösung der Ungleichung ( nennerfrei ) muß einmal mit
dem rechten und einmal mit dem linken Nenner multipliziert
werden. Deshalb müssen die Nenner auf das Vorzeichen
überprüft werden.

Es muß nachgeschaut werden an welcher Stelle der Nenner auf
der linken Seite das Vorzeichen wechselt
x -2 = 0
x = 2
Es muß nachgeschaut werden an welcher Stelle der Nenner auf
der rechten Seite das Vorzeichen wechselt
x -4 = 0
x = 4

Die beiden Werte auf einem Zahlenstrahl markieren.
Es ergeben sich die Bereiche
1.Fall x < 2
2.Fall  2 < x < 4
3.Fall x > 4

b.)  ( x +2 ) / ( x -1 ) > |  x +3 | / ( x - 4 )
Ist dasselbe wie a.) mit der Ausnahme Zähler rechte Seite
| x + 3 |  = 0 
x = -3

Auf einem Zahlenstrahl werden die Stellen x = -3, 2 und 4 eingezeichnet
Es ergeben sich die Fälle
1.Fall x < -3
2.Fall -3 < x < 2
3.Fall 2 < x < 4
4.Fall x > 4

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Ja stimmt beim letzten stimme ich dir zu. Aber beim ersten meinst du sicherlich:

Es muß nachgeschaut werden an welcher Stelle der Nenner auf 
der linken Seite das Vorzeichen wechselt 
x -1 = 0 
x = 1 
Es muß nachgeschaut werden an welcher Stelle der Nenner auf 
der rechten Seite das Vorzeichen wechselt 
x -4 = 0 
x = 4

1.Fall x < 1 
2.Fall  1 < x < 4 

3.Fall x > 4  

Also wenn ich das festhalten darf:

Wenn ich so eine Ungleichung habe:

Gucke dir die Nenner bilde die Fälle

wenn zusätzlich noch ein Betrag vorkommt, diesen auch berücksichtigen

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Also wenn ich das festhalten darf:

Wenn ich so eine Ungleichung habe:

Gucke dir die Nenner bilde die Fälle

wenn zusätzlich noch ein Betrag vorkommt, diesen auch berücksichtigen

Schaue dir an :
- was sind die kritischen Terme.
( Terme mit denen multpliziert oder dividiert wird )
- wann wechseln diese Terme ihr Vorzeichen 
- Betragsterme sind stets zu berücksichtigen
- Alle Nullstellen aufschreiben und auf einem Zahlenstrahl markieren
- Die Bereiche kennzeichnen und die Fälle bilden

Es gibt dazu keine Unterfälle mehr.

Wenn du magst kannst du als neue Frage 3 Gleichungen / Ungleichungen /
mit oder ohne Beträge oder Brüche einstellen und eine Lösung bis zur
Auflistung der Fälle einstellen.

mfg Georg

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Danke georgborn, ich bin sehr froh, das du mir hier gut und kompetent weiterhilft. Ich muss dazu sagen, dass ich mich gerade für diese schwierigen Fälle interessiere.

Aber noch hierzu:

a.) ( x +2 ) / ( x -1 ) > ( x +3 ) / ( x - 4 ) 

x -1 = 0 
x = 1 

1.Fall x < 1 
2.Fall  1 < x < 4 
3.Fall x > 4 

So dürfte es doch richtig sein, oder?

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Aufgrund deines letzten Kommentars sehe ich :
ich hatte einen Fehler beim Eersten Nullpunkt.
Dort habe ich versehentlich den Nullpunkt des Zählers
angessetzt. Richtig ist der Nullpunkt des Nenners.
a.) ( x +2 ) / ( x -1 ) > ( x +3 ) / ( x - 4 )

Nenner
x - 1 = 0
x = 1

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Ah sehr gut. Nochmals vielen Dank!

Answer 3

Wenn du Multiplikationen und Divisionen vermeidest, brauchst du nicht unbedingt mehrere Fälle zu rechnen.

(3x+2)/(4x+8) ≤ 1/2

(3x+2)/(2(2x+4)) - 1/2 ≤ 0

(3x+2)/(2(2x+4)) - (2x+4)/(2(2x+4))  ≤ 0

((3x+2) - (2x+4))/(2(2x+4))   ≤ 0

(x-2)/(2(2x+4))   ≤ 0

x = 2 und x = -2 sind kritisch

Vorzeichentest:

x< - 2;    - / -  = +

-2 < x < 2:  - / + = -

x> 2:   +/+

L = (-2, 2]