durch Betrachtung des Differentialquotienten zeigen, dass f differenzierbar in 1 ist

Question

Dies ist eine Altklausuraufgabe und ich würde gerne wissen, wie man diese mittels der Formel (Differentialquotient) löst. 

Answer 1

f ' (x₀) = lim_x→x0  \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) , falls der Grenzwert existiert.

f ' (1) = lim_x→1  \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)  = lim_x→1  \(\frac{f(x)-1}{x-1}\) 

Bei dieser "abschnittsweise definierten Funktion berechnet man am einfachsten die beiden einseitigen Grenzwerte. Wenn diese existieren und übereinstimmen, existiert der Grenzwert und damit die Ableitung.

 lim_x→1+ \(\frac{1+(x-1)^2-1}{x-1}\) = lim_x→1+  \(\frac{x^2-2x+1}{x-1}\) = lim_x→1+  \(\frac{(x-1)^2}{x-1}\) = lim_x→1+  (x-1) = 0

analog ergibt auch der linksseitige Grenzwert den Wert 0

Also ist f '(1) = 0

Gruß Wolfgang

Comments

vielen dank. ist es somit differenzierbar in 1 oder nicht? bzw. was muss als ergebnis rauskommen damit beide gleichungen differenzierbar in 1 sind?

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ja, sie ist natürlich differenzierbar in 1, wenn f '(1) = 0 ist.

Für x≠1 ist sie als rationale Funktion auch differenzierbar, also ist sie differenzierbar

Answer 2

Betrachte die Differenzenquotienten an der Stelle 1 für jeden der beider Fälle: Für x≥1 ist der DQ x-1. für x≤1 ist der DQ -(x-1). Für x gegen 1 ist der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert. Beide DQ gehen gegen Null.