f ' (x0) = limx→x0 x−x0f(x)−f(x0) , falls der Grenzwert existiert.
f ' (1) = limx→1 x−1f(x)−f(1) = limx→1 x−1f(x)−1
Bei dieser "abschnittsweise definierten Funktion berechnet man am einfachsten die beiden einseitigen Grenzwerte. Wenn diese existieren und übereinstimmen, existiert der Grenzwert und damit die Ableitung.
limx→1+ x−11+(x−1)2−1 = limx→1+ x−1x2−2x+1 = limx→1+ x−1(x−1)2 = limx→1+ (x-1) = 0
analog ergibt auch der linksseitige Grenzwert den Wert 0
Also ist f '(1) = 0
Gruß Wolfgang