Beweis durch vollständige Induktion: Summenzeichen beweisen

Question

Zeigen Sie: Für a,b ∈ Κ ( Κ ein Körper) gilt:

$$ { a }^{ n }\quad -\quad { b }^{ n }\quad =\quad (a-b)*\sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ { a }^{ k }*{ b }^{ (n-1-k) } } $$

Ich weiß nicht wie ich den Induktionsschritt machen soll.

Answer 1

Wenn's unbedingt mit Induktion sein soll, dann musst Du eben \(a^{n+1}-b^{n+1}\) so umschreiben, dass im Umgeschriebenen \(a^n-b^n\) vorkommt. Sonst kriegst Du ja keinen Induktionsschritt zusammen. z.B. geht $$a^{n+1}-b^{n+1}=a(a^n-b^n)+(a-b)b^n.$$

Comments

Das sieht gut aus. Letzten Endes entspricht der entscheidende Schritt, den man hier dann macht, jedoch voraussichtlich demselben, den man im direkten Beweis durchführen muss. (Erscheint mir komplizierter.)

Answer 2

diese Formel lässt sich leicht direkt beweisen:

\( (a-b) \sum_{k=0}^{n-1}\limits a^k b^{n-1-k} = \sum_{k=0}^{n-1}\limits a^{k+1} b^{n-1-k} - \sum_{k=0}^{n-1}\limits a^{k} b^{n-k} \)

\( = \sum_{k=1}^{n}\limits a^{k} b^{n-k} - \sum_{k=0}^{n-1}\limits a^{k} b^{n-k} \)

\( = a^n - b^n \).

Wenn die vollständige Induktion also nicht unbedingt von der Aufgabenstellung gefordert ist, hast du hier schon mal einen direkten Beweis für diese Formel.

Es empfiehlt sich zum besseren Verständnis, den Beweis selbst nachzurechnen. Du könntest dabei zusätzliche Zwischenschritte einfügen (vorschlagsweise), die den Beweis verständlicher machen.

Mister

Comments

Könntest du bitte näher erklären, wie man von einem zum nächsten Schritt kommt?  Ich kann dar gar nichts herauslesen.