Gleichgewichtspunkte bestimmen und Stabilität untersuchen

Question

Hallo liebe Leute,

ich schreibe bald eine Klausur zur HöMa und hab leider noch keine Ahnung wie man die Gleichgewichtspunkte bei DGL bestimmt. Ich habe versucht mich an einer Lösung entlangzuhangeln, aber das hat auch nur mäßig geklappt. Die Aufgabe mit Musterlösung im Anhang. Wäre toll wenn wir jemand da weiterhelfen könnte.

Aufgabe $7-$ Gleichgewichtspunkte
$3+3=6$ Punkte
Ea sei dieses System von Differentialgleichungen gegeben:
$$\begin{array}{l} {x^{\prime}=2 x+a x y+y^{2}} \\ {y^{\prime}=x^{2}-y^{2}} \end{array}$$
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Gleichgewichtspunkte in diesern System abhängig vom Parameter $a \in \mathbb{R}$
$$\begin{array}{ll} {2 x+a x y+y^{2}} & {\stackrel{!}{=} 0 \quad 0} \\ {(x-y)(x+y)} & {\stackrel{!}{=} 0 \quad 0 \Rightarrow x=y \text { oder } x=-y} \end{array}$$
1. Fall: $x=y \Rightarrow 2 x+a x^{2}+x^{2}=0 \Rightarrow x=0$ oder $x=\frac{-2}{1+a}$ falls $a \neq-1$
2 Fall: $x=-y \Rightarrow 2 x-a x^{2}+x^{2}=0 \Rightarrow x=0$ oder $x=\frac{-2}{1-a}$ falls $a \neq 1$
Gleichgewichtspunkte:
$$(0,0), \quad\left(\frac{-2}{1+a}, \frac{-2}{1+a}\right) \text { falls } a \neq-1, \quad\left(\frac{-2}{1-a}, \frac{2}{1-a}\right) \text { falls } a \neq 1$$
Insgesamt:
Fir a $\not=1:$ S Gleichgewichtspunkte
Für $a=\pm 1$ : 2 Gleichgewichtspunkte
b) Berechnen Sie die Gleichgewichtspunkte für $a=-1$ und untersuchen Sie deren Stabilität.
$$\begin{array}{l} {x^{\prime}=2 x-x y+y^{2}} \\ {y^{\prime}=(x-y)(x+y)} \end{array}$$
Für $a=-1$ haben wir schon die Gleichgewichtspunkte $(0,0),(-1,1)$ berechnet. Jacobi-
$$\begin{array}{l} {\text { Matrix: }} \\ {\qquad J_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} {2-y} & {-x+2 y} \\ {2 x} & {-2 y} \end{array}\right)} \end{array}$$
Darnit untersuche Stabilitat:
$$J_{f}(0,0)=\left(\begin{array}{ll} {2} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right)$$
hat $E W \&,$ O. Also ist $(0,0)$ instabil, da ein EW positiven Realteil hat.
$$J_{f}(-1,1)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-2} & {-2} \end{array}\right)$$
hat $E W \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{15}}{2} .$ Also ist $(-1,1)$ stabil, da alle $E W$ negativen Realteil haben.
Nebenrechnung:
$$\left|\begin{array}{cc} {1-\lambda} & {3} \\ {-2} & {-2-\lambda} \end{array}\right|=(1-\lambda)(-2-\lambda)+6=\lambda^{2}+\lambda+4$$
$\Rightarrow \lambda_{1 / 2}=\frac{-1+i \sqrt{1-4-4}}{2}=-\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{15}}{2}$

Bislang ist für mich nur erkenntlich geworden, dass das DGL System gleich 0 am Anfang sein soll.

MfG

Comments

Was genau verstehst du denn nicht? Sprich welcher Schritt ist unklar, und warum.

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Bislang ist für mich nur erkenntlich geworden, dass das DGL System gleich 0 am Anfang sein soll.

Die Ableitungen nach der Zeit sollen null werden. Oder was stellst Du Dir so unter einem Gleichgewichtszustand vor? Das ist ein Zustand, der sich mit der Zeit nicht mehr aendert. Es bewegt sich nichts mehr, tote Hose, Zeitableitungen null.

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Also ab dem Schritt mit dem 1 und 2. Fall weiß ich nicht was da gemacht wird. Mir wird aus der Lösung nicht deutlich was passiert ist.

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x² - y² = 0 --> y = x oder y = - x

Das verstehst du noch oder? Damit geht man dann in die andere Bedingung

2·x + a·x·y + y² = 0
2·x + a·x·(x) + (x)² = 0
2·x + a·x² + x² = 0
(a + 1)·x² + 2·x = 0
x·((a + 1)·x + 2) = 0

x = 0 oder

(a + 1)·x + 2 = 0
x = -2 / (a + 1)

Weil y = x folgt daraus

[0 | 0] oder [-2 / (a + 1) | -2 / (a + 1)]

Ist das so verständlich. Nun das Ganze nochmals indem du in die andere Bedingung für y einfach -x einsetzt. Probier das einfach mal.

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woher weiß man dass man 3 oder 2 Gleichgewichtspunkte hat?

Liebe Grüße

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Naja. Setz doch mal für a = 1 ein und schau was passiert.

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[0 | 0] oder [-2 / (a + 1) | -2 / (a + 1)]  = [- 1, -1].....?

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Das sind jetzt nur 2 oder?

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ja, 2 mal -1

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Nein.

(0 | 0) und (-1 | -1)

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ja meinte ich auch

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Und was sind die Gleichgewichtspunkte für a = 2?

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Ich verstehe nicht was ich machen soll....