Handelt es sich um einen Vektorraum?

Question

Hey!

Muss für die Uni die folgenden Aufgaben lösen:

Welche der gegebenen Mengen sind Vektorräume?
Falls es sich um keinen Vektorraum handelt, soll angegeben werden welche Eigenschaft nicht zutrifft.

Hab mich jetzt mal mit Hilfe des Skriptums an Bsp (a) probiert.

Ich denke dass es sich um einen Vektorraum handelt da die im Skriptum angeführten Eigenschaften zutreffen, allerdings habe ich einen Punkt nicht ganz verstanden:

Die Eigenschaft "Auflösung von Gleichungen":
Zu je zwei Vektoren u, v ∈ V gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor x ∈ V mit u + x  = v, Symbol x = v - u

Wie lässt sich diese Eigenschaft überprüfen?

:-)

Comments

Wenn ihr schon bewiesen habt, dass und mit welchen Rechenoperationen R^2 und R^3 Vektorräume sind, brauchst du bei a) - f) nur die Untervektorraumbedingungen (z.B. Differenz von 2 Vektoren liegt wieder im Vektorraum)  zu überprüfen.

Alternative: Alle definierenden Eigenschaften für VR prüfen.

Answer 1

das bedeutet du nimmst dir 2 Vektoren aus der Menge und überprüfst ob ihre Differenz auch in der Menge liegt.

Gruß

Comments

Und das ist bei Punkt (a) der Fall, sehe ich das richtig?

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Ja ist es. :)

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Welche Eigenschaften muss man denn jetzt wirklich überprüfen um festzustellen dass es sich um einen vektorraum handelt?

Bin im Internet auf mehrere Skripten zu linearer Algebra gestoßen, jedoch sind die angeführten Eigenschaften oft sehr unterschiedlich...

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Hallo das sieht vielleicht am Anfang so aus aber die Eigenschaften sind eigentlich ziemlich ähnlich. Man überblickt das eventuell anfangs nicht. Halte dich am besten an dein eigenes Skript und die Definitionen aus der Vorlesung. Die Definition bei Wikipedia ist bspw. ziemlich Standard.

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Laut Skriptum gibt es 7 Grundeigenschaften:

1) Kommutativgesetz
2) Assoziativgesetz
3) Addition des Nullvektors
4) Auflösung von Gleichungen
5) Multiplikation mit 1
6) Assoziativgesetz (Skalarmultiplikation)
7) Distributivgesetz

In der Vorlesung wurden jedoch nur diie folgenden 3 erwähnt:

1) Positive Definitheit
2) Symmetrie (Kommutativität)
3) Linearität (Distributivgesetz)

Nun bin ich mir halt etwas unsicher diesbezüglich...

Aber danke für die Antwort! :-)

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Jetzt hast du mein Interesse geweckt. Was soll denn die positive Definiheit bzgl. eines VRs sein?

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Laut meinen Aufzeichnungen:

<u,u> ≥ 0 ∀ u ∈ V

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Habs mir schon gedacht du bringst hier alles durcheinander. Das ist eine Eigenschaft eines Skalarprodukts.

Answer 2

  Jetzt mal nicht gar so wild.  Beispiel a)



    3  x1  -  2  x2  =  0     (  1a  )

    2  x2  -  x3  =  0      (  1b  )



   Bei ( 1ab ) handelt es sich um ein homogenes LGS , dessen Lösung immer ein Vektorraum ist.


    b)   nein;  Additivität ist nicht gegeben.



        (  x1  |  0  )  +  (  0  |  x2  )  =  (  x1  |  x2  )        (  2  )



    c) ja aus dem selben Grunde wie a)


   d) Nein. Sei M die erfüllungsmenge von d ( der Graf einer Parabel. ) Dann hast du doch



          (  2  |  4  )   €  M      (  4.1  )


        Dann müsste aber auch

        2  (  2  |  4  )   =  (  4  |  8  )   €  M    (  4.2  )

     und ( 4.2 ) ist nicht der Fall.

   e)  nein. Denn mit ( 1 | 1 ) müsste M auch das Negative enthalten ( - 1 | - 1 )

   f) ja. Denn f) lässt sich wieder zurück führen auf die homogene Geradengleichung

        y  -  x  =  0    (  6  )

    g) ja. Du schreibst die Symmetriebedingung für g ( x ) an und wendest auf beide Identitäten das Additionsverfahen an.

  Du multiplizierst die für f vorgegebene Identität mit Lambda .

   Dann bleibt dir noch die triviale Aussage, dass die Nullfunktion symmetrisch ist.