Lösungsmenge von (x+2)/(x-1)>(x+3)/(x-4) bestimmen

Question

Ich bin gerade dabei die Ungleichung (x+2)/(x-1)>(x+3)/(x-4) zu lösen.

Meine Vorzeichentabelle sieht wie folgt aus:

$$ \begin{matrix} -\infty ,\quad -5/4 & -5/4,\quad 1 & 1,\quad 4 & 4,\quad \infty  \\ \frac { -4(-99)+5 }{ (-99-1)(-99-4) } >0\quad ? & \frac { -4(0)+5 }{ (0-1)(0-4) } >0\quad ? & \frac { -4(2)+5 }{ (2-1)(2-4) } >0\quad ? & \frac { -4(99)+5 }{ (99-1)(99-4) } >0\quad ? \\ JA & JA & JA & NEIN \end{matrix} $$

Die Rechnung habe ich mal mit in die Tabelle gepackt. 

Jetzt zu meiner Frage: Wie gebe ich die Lösungsmenge an?

Etwa -unendlich, -5/4 und -5/4, 1 und 1, 4

oder kann und darf hier weiter vereinfacht werden mit:

-unendlich, -5/4 und 1, 4

Answer 1

Ich komme auf 

x < - 5/4 ∨ 1 < x < 4

L = ]- ∞ ; - 5/4[ ∪ ]1 ; 4[

Comments

Okay aber warum komme ich auf -5/4, 1 meine Rechnung war mit x = 0 dann war der ganze Term positiv also Teil der Lösung?!

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Meine Rechnung:

$$ Zahl\quad x=0\quad (-5/4<x<1)\quad daher:\quad \frac { -4(0)+5 }{ (0-1)(0-4) } >0\quad -->\quad 1,25>0\quad JA $$

Somit ist auch -5/4, 1 Teil der Lösung weil die Aussage ja stimmt?! oder habe ich mich verrechnet?

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Das ist kein Term, sondern eine Ungleichung. Lasse Deinen GTR mal den Graphen von f(x)= (x+2)/(x-1)-(x+3)/(x-4) zeichnen und schau, wo der oberhalb der x.Achse verläuft.

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Ich habe zwar einen GTR aber ich soll es ohne machen. Und wenn ich mir die Tabelle ansehe, dann kann ich die Werte ja ablesen. Ich frage mich nur, warum mir die Tabelle sagt, dass mein Ergebnis Teil der Lösung ist. Mir die Rechnung das auch sagt. Aber Wolframalpha widerspricht. Ich meine dafür ist die Tabelle doch da, dass ich die Werte ablesen kann?1

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Wir können ja einfach mal 0 in die original Gleichung einsetzen

(x + 2)/(x - 1) > (x + 3)/(x - 4)

(0 + 2)/(0 - 1) > (0 + 3)/(0 - 4)

2/(- 1) > 3/(- 4)

- 2 > - 3/4

- 2 > - 1.75

Ist das jetzt wahr ?

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Hast du eine Ordentliche Fallunterscheidung gemacht ? Wenn du mit negativen Nennern multiplizierst, muss sich das Ungleichheitszeichen umkehren. Das kann ich bei dir hier nicht sehen. Kann ja sein, dass du es auf deinem Zettel hast.

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Okay, dann bin ich verwirt. Ich habe die Gleichung richtig zusammengeführt. Zu

$$ \frac { -4x+5 }{ (x-1)(x-4) } >0 $$

müsste denn nicht das selbe rauskommen?

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Rechnung:

$$ \frac { x+2 }{ x-1 } >\frac { x+3 }{ x-4 }  $$

$$ \frac { x+2 }{ x-1 } \frac { x+3 }{ x-4 } >0 $$

$$ \frac { (x+2)(x-4) }{ (x-1)(x-4) } -\frac { (x+3)(x-1) }{ (x-1)(x-4) } >0 $$

$$ \frac { { x }^{ 2 }-2x-8 }{ (x-1)(x-4) } -\frac { { x }^{ 2 }+2x-3 }{ (x-1)(x-4) } >0$$

−4x+5(x−1)(x−4)>0

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$$ \frac { -4x+5 }{ (x-1)(x-4) } >0 $$

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Ich habe da auch heraus 

(4·x + 5) / ((1 - x)·(x - 4)) > 0

(- 4·x - 5) / ((x - 1)·(x - 4)) > 0

Vielleicht prüfst du das mal.

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Im Zähler muss es -4x - 5 heißen. Aber sonst ist das ein guter Ansatz-

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"Im Zähler muss es -4x - 5 heißen. Aber sonst ist das ein guter Ansatz-"

Danke ;-) und ja stimmt gerade gesehen. 

Also warum ich das ganze mit der Tabelle gemacht habe:

Mit der Fallunterscheidung bin ich mittlerweile recht geübt.Daher wollte ich gerne mal wieder die Tabelle benutzen, da sie für solche Brüche recht schöne Ergebnisse liefert. 

Danke ihr habt mir wieder gut geholfen!

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Ich möchte mich hier herzlich bei Georgborn und dem Mathecoach bedanken.

In letzter Zeit haben wir hier viele, Teils schwierige Ungleichungen besprochen. Mittlerweile habe ich selbst an die 50 unterschiedlichen Aufgaben mit Ungleichungen gelöst. Betrag und Bruch, mehrfach Betrag, nur Betrag, etc... 

Ohne eure Hilfe wäre ich heute nicht so weit. Daher ein großes Lob an euch. Insbesondere haben mir die Zeichnungen von dir georg am meisten geholfen! Ich arbeite jetzt selbst immer so und ich kann nur sagen, es geht bis jetzt immer alles auf. 

Daher wirklich danke, dass es euch gibt!

Bitte an die Betreffenden weiterleiten!

Answer 2

Zur Lösundmenge gehören alle x unter -1,25 sowie alle x zwischen 1 und 4.

Answer 3

Hier mein Lösungsweg



Alles oberhalb der x-Achse gehört zur Lösungsmenge

~plot~   (x+2)/(x-1)-(x+3)/(x-4) ; x = 1 ; x = 4 ; [[ -5 | 10 | -5 | 10 ]] ~plot~

mfg Georg

Comments

Hab exakt das gleiche wenn ich die Tabelle nicht anwende. Habe das ganze ja von dir gelernt.

Daher wirklich vielen Dank an dich! Ich hab mir auch nochmal weiter Betragsungleichungen angesehen, also nicht so "langweilige" (ist ja keine Betragsungleichung..) wie diese hier, ohne dich hätte ich die Thematik nicht so gut begriffen. 

Das handschriftliche ist die beste Hilfe, die man haben kann!

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Deine Bemerkung zu " handschriftlich " sehe ich auch so.

Ich schreibe bei der ersten Gleichung für einen Fall das Vorzeichen
jetzt rot eingekreist mit dabei.

Dann weiß bei den folgenden Multiplikationen ob sich das
Relationszeichen ändert oder nicht.

mfg Georg

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Ist mir auch aufgefallen, das macht es leicht verständlicher. Ich denke ich werde das auch so machen. 

Weil Vorzeichen Fehler, doch recht schnell übersehen werden können.