Zufallsexperiment: EIgenschaften der Ergebnismenge

Question

Die Ergebnismenge \( \Omega \) kann:

• endlich sein: \( \Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots, \omega_{n}\right\} \)
Beispiel: Die Augenzahlen von 1 bis 6 beim Werfen eines Würfels.

• abzählbar unendlich sein: \( \Omega=\left\{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots\right\} \)
Beispiel: Die Anzahl der Würfe, bis beim Würfeln mit einem Würfel die Augenzahl 6 fällt und man beim Spiel „Mensch - ärgere - dich - nicht" aus dem Haus darf.

• überabzählbar unendlich sein:
Beispiel: Eine kreisförmige Trefferfläche bei der Bestimmung der geometrischen Wahrscheinlichkeit.

Folgende Eigenschaften, kann die Ergebnismenge ja annehmen:

- dass sie endlich sein kann ist mir noch klar (bzw. was das bedeutet)

aber was mit abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich gemeint ist verstehe ich nicht.

Kann mir jemand dazu Beispiele nennen?

Answer 1

Abzählbar unendlich ist z.B. die Menge der natürlichen Zahlen:
Zahl 1 ist die 1, Zahl 2 die 2 usw.

Ebenso die Menge der ganzen Zahlen:

Zahl 1 ist z.B. die 0, Zahl 2 die 1, Zahl 3 die -1, Zahl 4 die 2, Zahl 5 die -2 usw.

Auch die Menge der Brüche ist abzählbar unendlich; man könnte die Zähler von 1 bis ∞ in die Zeilen schreiben und
die Nenner von 1 bis ∞ in die Spalten und dann nach einem gewissen Schema abzählen.
Überabzählbar unendlich ist dagegen die Menge der reellen Zahlen; bei denen kann man ein solches Verfahren nicht anwenden.

Comments

danke für die schnelle Antwort :)

eine Frage habe ich aber noch, und zwar:

wie kann ich jetzt sagen, feststellen, dass ich die Ergebnismenge endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich ist (zb bei einem Beispiel)?

weil Reelle Zahlen sind ja quasi alle Zahlen..

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In Deinem Bild zur Ergebnismenge Ω hast Du ja schon ein paar Beispiele: 

Die Augenzahlen eines Würfels sind endlich, nämlich die 6 Möglichkeiten 1, 2, 3, 4, 5 und 6.

Beim "Mensch-ärgere-dich-nicht"-Beispiel hast Du eine abzählbar unendliche Ergebnismenge vorliegen: Du kannst ja mitzählen, weißt aber nicht, wann Du aus dem Haus darfst - nach dem 1., dem 10., dem 5000 oder dem 10 000 000. Wurf? 

Überabzählbar sind analoge - im Gegensatz zu digitalen - Größen: Wo genau liegt in der 20. Minute des Fußballspiels der Ball? An der Stelle (30|20) oder doch 1mm weiter links oder 0,0000001mm weiter rechts ...?

Oder Körpergröße: Ich bin z.B. rund 1,83m groß, aber vielleicht sind es auch 1,8300000001m oder

1,82999999999999999999992m oder jede Zahl dazwischen?

Hoffe, dass es dadurch ein wenig klarer wird :-)