cos2(x) integrieren partiell oder mit Substitution?

Question

ich wollte einfach mal spaßhalber dieses Integral berechnen...um zu üben

Egal wie ich es versuche ich komme nicht weiter..

Was wäre der erste Schritt?

Answer 1

cos²x = cosx·cosx. Dann Produktregel. Dann entsteht wieder ein Integral, das nach der Produktregel berechnet werden muss, bis wieder cos²x entsteht.

Comments

???

Produktregel ist für die Ableitung.

Ich möchte

∫ cos² (x) dx
 
berechnen...

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Die Produktregel für die Ableitung entspricht in etwa der partiellen Integration beim Integrieren.

Daher bezeichnen manche (vermutlich) die Rechenregel "partielle Integration" als "Produktregel":

$\int \frac{d}{dx} \left(a(x)b(x) \right) dx = \int \left( a'(x) b(x) + a(x) b'(x) \right) dx$

$\Rightarrow \int a'(x) b(x) dx = a(x)b(x) - \int a(x) b'(x) dx$.

Answer 2

der Trick geht so:

$\int \cos(x)\cos(x) dx = \cos(x)\sin(x) + \int \sin(x)\sin(x) dx$

$= \cos(x)\sin(x) + \int (1 - \cos(x)\cos(x)) dx$.

Dies führt zu

$2 \int \cos(x)\cos(x) dx = \cos(x)\sin(x) + x + C$

beziehungsweise

$\int \cos^2(x) dx = \frac{1}{2}\left( \cos(x) \sin(x) + x \right) + c$ (mit $c = \frac{C}{2}$).

Mister

Comments

ich kann folgen bis

"dies führt zu"

danach wird mir ganz schwindelig... was bringt mir die Zerlegung wenn ich wiederum ein Integral bekomme wo ich wieder cos(x)*cos(x) habe,...

Ich meine das ∫ (1-cos(x) cos(x) ) dx

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Darin besteht ja gerade der Trick bei dieser Lösung: Rechts vom Gleichheitszeichen steht $-\int \cos(x)\cos(x) dx$, das man durch die Umformung $+ \int \cos(x)\cos(x)$ auf die linke Seite schieben kann, wo dann $2 \int \cos(x)\cos(x) dx$ steht.

Um die Umformung besser zu verstehen, hilft vielleicht der Hinweis, dass $\int (1 - \cos(x)\cos(x)) dx = \int 1 dx - \int cos(x)cos(x) dx$ gilt.

(Es ist $\int 1 dx = x + const.$)

Übrigens kannst du diesen Trick auch zur Bestimmung des Integrals $\int \sin^2(x) dx$ anwenden, was du vielleicht machen willst, sobald du die Herleitung des Integrals $\int \cos^2(x) dx$ verstanden hast.

Answer 3

du kannst das auch ohne partielle Integration lösen

cos²(x)= 1/2 (cos(2x)+1)

dann in 2 Teilintegrale aufspalten , das 1. Integral durch Substitution  berechnen (z=2x)

Comments

ok.. ich werde es versuchen... warum ist aber

cos²(x)= 1/2 (cos(2x)+1)

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Frost: Diese Formel kennt man (vielleicht) von den (trigonometrischen) Additionstheoremen.

Dort unter Doppel- und Halbwinkelformel nachschauen.