Ermittle im Intervall (-2,0) eine geschlossene Darstellung der Funktion

Question

die Aufgabe lautet:

Ermitteln sie Im Intervall (-2,0) eine geschlossene Darstellung für die Funktion

f(x) = ∑∞ ⁿ⁼¹ (n+(1/n))* (x+1)ⁿ

Wär toll wenn mir jemand sagen könnte wie genau ich da vorgehen muss, vor allem mit dem Intervall..

Answer 1

bekanntlich gilt für \(x\in\mathbb R\) mit \(-1< x<1\) die geometrische Reihe$$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.$$Ableiten und anschließende Multiplikation mit \(x\) liefert$$\frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^n.$$Integration liefert andererseits$$-\log(1-x)=\sum_{n=1}^\infty\frac1nx^n.$$Addition liefert$$\frac x{(1-x)^2}-\log(1-x)=\sum_{n=1}^\infty\left(n+\frac1n\right)x^n.$$