Wie löse ich diese DGL mit dem Verfahren Trennung der Variablen? dx/dt = (x^2+1)/x

Question

Also es geht um das Verfahren "Trennung der Variablen"..

Die Idee dabei ist ja, dass die Funktion der rechten Seite in das Produkt zweier Funktionen umgewandelt wird, und zwar:

f(x,t) = g(t) * h(x)

das habe ich eigentlich verstanden, nur in diesem Beispiel hier auf dem Foto weiß ich nicht, wie ich eine Abhängigkeit von t getrennt von x ausdrücken soll..

wie soll das funktionieren?

Answer 1

dx/dt = (x^2+1)/x |*dt

dx = ((x^2+1)/x )*dt

x *dx/((x^2+1))=dt

1/2 ln(x^2+1)= t+c

 ln(x^2+1)=2( t+c)

 x^2+1=e^{2(t+C)}

x^2= e^{2(t+C)}

x=±√ (e^{2(t+C )-1 })

die neg. Lösung entfällt , wegen der AWB  x(0)=1

die AWB einsetzt ergibt

x=√ (2 e^{2t} -1)