b^-(a+1) oder b^-a+1 (Rechnen mit negativem Exponenten)

Question

Berechne folgendes Integral:

$$\int _{ b }^{ \infty }{ x*\frac { a{ b }^{ a } }{ { x }^{ a+1 } } } dx$$

Ich habe die Lösungen auch vorliegen jedoch verwirrt mich beim selbst rechnen das Vorzeichen beim Exponenten :

$$\int _{ b }^{ \infty }{ x*\frac { a{ b }^{ a } }{ { x }^{ a+1 } } } dx$$ = $$a{ b }^{ a }\int _{ b }^{ \infty }{ { x }^{ -a } } dx$$

nun kommt die eigentliche Frage : ich kam zu dem Schluss dass die Aufleitung von x^-a   x^-(a+1) und somit x^-a-1 ist allerdings ist in den Lösungen von x^-a+1 die Rede

Meine Lösung führt zum Ergebnis a/(a+1)b die vorgestellte zu ab/a+1, was ist richtig und wieso?

x^-2  = 1/x² in unserem Fall ist die 2 ersetzt durch (a+1) somit x^-(a+1) ?

Answer 1

nun kommt die eigentliche Frage : ich kam zu dem Schluss dass die Aufleitung von x^-a   x^-(a+1) und somit x^-a-1 ist allerdings ist in den Lösungen von x^-a+1 die Rede

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Es gibt keine "Aufleitung" !!!

$$\int x^n \, dx = \frac 1{n+1} \cdot x^{n+1} +C$$

Wenn das n zufällig negativ ist, ändert das nicht die Vorschrift, wie Polynome zu integrieren sind ( mit einer Ausnahme)

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Meine Lösung führt zum Ergebnis a/(a+1)b die vorgestellte zu ab/a+1, was ist richtig und wieso?

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Konstanten werden nicht mitintegriert, auch wenn's Spaß macht !