Wendepunkt oder Sattelpunkt?

Question

Bei einem Wendepunkt liegt doch immer ein Krümmungswechsel vor, oder? Das heißt ein Maximum dann Minimum (Rechts-Links-Kurve glaub ich nennt man das) oder ein Minimum dann Maximum (Links-Rechts-Kurve). Wenn es kein Hoch- Tiefpunkt gibt, dann kann es auch kein Wendepunkt geben richtig? Ein Sattelpunkt muss ja immer parallel zur x-Achse verlaufen, ist das so?

Answer 1

> Bei einem Wendepunkt liegt doch immer ein Krümmungswechsel vor, oder?

Das ist richtig. Mit Minimum oder Maximum hat das nicht unmittelbar etwas zu tun.

> Wenn es kein Hoch- Tiefpunkt gibt, dann kann es auch kein Wendepunkt geben richtig? 

Das ist falsch:  f(x) = x³ hat keine Extrempnkte aber den Wendepunkt (0|0).

> Ein Sattelpunkt muss ja immer parallel zur x-Achse verlaufen, ist das so?

Die Tangente im WP (also näherungsweise auch der Graph) verläuft  parallel zur x-Achse.

Gruß Wolfgang

Comments

Also wie erkenne ich einen Wendepunkt?

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Die Kurve geht dort von einer Links- in eine Rechtskurve über oder umgekehrt.

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vielleicht hilft Dir dies:

Jeder Sattelpunkt ist auch ein Wendepunkt, aber nicht jeder Wendepunkt ist auch ein Sattelpunkt.

Analog zu, jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.

Ein Sattelpunkt ist schlicht ein spezieller Wendepunkt.

Gruß

Answer 2

"Bei einem Wendepunkt liegt doch immer ein Krümmungswechsel vor, oder?"

> Genau, das Krümmungsverhalten wechselt von Linkskrümmung auf Rechtskrümmung oder umgekehrt.

"Wenn es kein Hoch- Tiefpunkt gibt, dann kann es auch kein Wendepunkt geben richtig?"
> Falsch. Schau dir f(x) = x³ an. Sie hat keine Extrema, aber eine Wendestelle bei x = 0.

Comments

Aber bei x^3 gibt es doch kein Krümmungswechsel, ich erkenne keinen

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Gibt es ganz sicher im Punkt (0|0) !

Wenn du mit dem Rad von links aus auf dem Graph fährst, musst du den Lenker zuerst nach rechts und dann nach links drehen.

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f(x) ist linksgekrümmt, wenn f''(x) > 0 und f(x) ist rechtsgekrümmt, wenn f''(x) < 0

f(x) = x³
f''(x) 3x²
f''(x) = 6x

f''(x) < 0 wenn x < 0
f''(x) > 0 wenn x > 0

Krümmungswechsel an der Stelle x = 0: von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt.

~plot~x^3~plot~

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Ah ok vielen Dank! Aber das ist nur minimal, das könnte genauso ein Sattelpunkt sein :) das verläuft ja ähnlich wie eine tangente

Answer 3

ie Funktion
1.Ableitung ( Steigung )
Stellen mit waagerechter Tangente = die Steigung ist 0
Extrempunkte oder Sattelpunkt
2.Ableitung ( Krümmung )
Krümmung mit Steigung = 0 ist ein Sattelpunkt.

~plot~ sin ( x ) ~plot~

Hoch und Tiefpunkt, Wendepunkt sind vorhanden.

Stell dir einmal vor am Hoch- oder Tiefpunkt würde die Funktion
leicht weitersteigen oder -fallen und einem Grenzwert
entgegen gehen. Dann hätte die Funktion keinen Hoch- oder Tiefpunkt
aber eine Wendestelle.