Punktsymmetrie erkennen Vorzeichen -f(x)=f(-x)

Question

wie in der Frage geschrieben, kenne ich zwar die Regel, doch kann ich sie nicht immer anwenden...Bei f(-x) ist es mir klar..da ändert sich ja meist das Vorzeichen vor dem x. 

Bei -f(x) habe ich Probleme...

Bsp. f(x)=(2x+1)*e^2x-2

-f(x)=(-2x-1)*-e^2x-2

^{So würde ich es machen...ich bin mir aber bei den Vorzeichen außerhalb der Klammer sehr unsicher...kann mir jmd. helfen?}

Answer 1

 f(x)=(2x+1)*e^2x-2 

Für f(-x) musst du überall, wo x steht  -x einsetzen:

f(-x) = (2•(-x) + 1) • e^{2•(-x) - 2} = (-2x + 1) • e^-2x-2  =_?  ±f(x)    (Symmetrie zu  y-Achse/Ursprung )

Nichtsymmetrie kann man mit einem Gegenbeispiel zeigen:

f(-1) = 3  ≠  - f(1) =  e^-4   →  keine  Symmetrie zum Ursprung

f(-1) = 3  ≠    f(1) = - e^-4  →  keine  Symmetrie zur y-Achse

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

du hast den Nachweis für
f ( - x )   geführt. Dies ist der Nachweis für Achsensymmetrie.

mfg Georg

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Hallo Georg, 

danke für den Hinweis. Werde die Antwort ergänzen.

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang, wie immer : gräme dich nicht
allzulange ob des Fehlers.
mfg Georg

Answer 2

Bsp. f(x)=(2x+1)*e^2x-2

Unter Symmetrie wird bei ( Schul- ) Aufgaben, wenn nicht anders
angegeben,  verstanden
- Achsensymmtrie zur y-Achse  f ( x ) = f ( -x )
- Punktsymmetrie zum Ursprung  f ( x ) = - f ( -x )

Zur Untersuchung auf Symmentrie gehe ich immer wie folgt vor
zuerst den Test auf Achsensymmetrie

Achsensymmetrie
f ( x ) = f ( -x )
f ( x ) = ( 2x + 1 ) * e^{2x-2}
f ( -x ) = ( 2 *( -x) + 1 ) * e^{ 2 * (-x) - 2 }
f ( -x ) = ( -2x + 1 ) * e^{ -2x - 2 }

( 2x + 1 ) * e^{2x-2}  =?  ( -2x + 1 ) * e^{ -2x - 2 }
Der rechte Teil der Gleichung läßt sich nicht irgendwie
umformen in den linken Teil.
Die e-Funktionen sind unterschiedlich.
Die Klammer auch.
Es liegt keine Achsensymmetrie vor

Punktsymmetrie
f ( x ) = - f ( -x )
- f ( -x ) =  - ( -2x + 1 ) * e^{ -2x - 2 } ]
- f ( -x ) =  ( -2x - 1 ) * e^{ -2x - 2 } ]
( 2x + 1 ) * e^{2x-2}  =?  ( -2x - 1 ) * e^{ -2x - 2 } ]
Dieselbe Argumentation wie oben.
Es liegt keine Punktsymmetrie vor.

~plot~ ( 2*x + 1 ) * e^{2*x-2} ~plot~

Comments

> Der rechte Teil der Gleichung lässt sich nicht irgendwie 
> umformen in den linken Teil. 

Diese Art der Argumentation lässt sich hier wegen der übersichtlichen Terme nachvollziehen.

Im Allgemeinen ist ein Gegenbeispiel beweiskräftiger.