Parameterform in Koordinatenform umwandeln Punkte gegeben

Question

Gegeben sind folgende Punkte A (0/2/4),B (4/2/0), C (2/3/0)der Ebene E.

A) Stellen Sie eine parameter-und koordinatengleichung der Ebene E auf.

Parameterform:  (0/2/3) + r* (4/0/-3) + s* (2/1/-3)

Koordinatengleichnung?

Danke

Comments

Du meinst:

E: X =   (0/2/3) + r* (4/0/-3) + s* (2/1/-3)

Eine Gleichung sollte eine Gleichung sein. Redigiere deine Fragestellung noch. 

Answer 1

 A (0/2/4),B (4/2/0), C (2/3/0)

LAUTET DER PUNKT A (0, 2, 3) ???

AB = [4, 0, -3]

AC = [2, 1, -3]

E: X = [0, 2, 3] + r * [4, 0, -3] + s * [2, 1, -3]

N = [4, 0, -3] ⨯ [2, 1, -3] = [3, 6, 4]

E: X * [3, 6, 4] = [0, 2, 3] * [3, 6, 4]

E: 3x + 6y + 4z = 24

Comments

A LAUTET 0/2/4

Was bedeutet dieses Zeichen ⨯?

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Wenn der Punkt A (0, 2, 4) lautet sind deine beiden Richtungsvektoren und auch die Geradengleichung verkehrt. Schaust du mal drüber.

[4, 0, -3] ⨯ [2, 1, -3] ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren.

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Ja das mache ich.

Ich höre das  zum ersten mal also kreuzprodukt. Was macht man da genau, damit man (3/6/4) erhält.

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Schau zunächst bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Und rechne die gegebenen Beispiele von dort nach. Dann berechne das bei deiner Aufgabe.

Answer 2

    Auch hier muss ich wieder ran. Es hat lange gedauert, bis ich begriff: Die Welt zerfällt in diejenigen, wo gar keine Ahnung haben. Und dann gibt es noch diejenigen, die sich mit diesem Kreuzprodukt tot rechnen. Weil auf dem Portal ===> Ly cos ( das hier überhaupt nicht gelitten ist ) gibt es den genialen User " Der Mo " ( wie Mohammed ) Erst sagte der, DAS MACHT MAN EINFACH SO . Ich war fassungslos; hielt seinen Ansatz gar für Falsch . Hernach glaubte ich, das lernt man in der Schule so wie der das macht - offensichtlich nicht.
   Am Ende dachte ich mir einen Beweis aus für Billy Mo seine Determinantenformel.
   Ach wisst ihr übrigens, dass die Matematik katolisch funktioniert?
   Keiner darf seine eigenen Entdeckungen vortragen.
   Streng genommen würde ein Kardinalskollegium darüber befinden, wer euch das Folgende vortragen darf. Als Stützvektor hast du





       A  :=  (  0  /  2  /  3  )             (  1a  )




     und die Ebene wird aufgespannt von den beiden Vektoren





    u  =  (  4  /  0  /  -  3  )  ;  v  =  (  2  /  1  /  -  3  )        (  1b  )




    Kennt ihr ===> Moritz Cornelis Escher, der diese Vexierbilder gemacht hat, die ständig umkippen? Wo Außen zu Innen wird und Vordergrund zu Hintergrund? Etwas Analoges macht Billy Mo; jeder würde doch die beiden Begriffe UnBESTIMMTE und Unbekannte erst mal in unterschiedlichen Schubladen ablegen. Deine Ebenengleichung in meiner Notation



   E  =  E  (  r  ;  s  )  =  A  +  r  u  +  s  v  =  T   |  -  A      (  2a  )
  
   T  €  E  ;  T  =  (  x  |  y  |  z  )      (  2b  )


   
      Genau genommen sind r und s in ( 2a ) Argumente einer Funktion, also unbestimmte ( Parameter ) Erst recht gilt das für den Punkt T in ( 2b ) , der mitsamt seinen ( rein formalen ) Koordinaten etwas verloren in der Landschaft herum steht.
   Hier nun dreht Billy Mo die Argumentation um. Er nagelt T fest und erklärt seine Koordinaten in ( 2b ) für konkret Gegeben.  Dann sind aber  r und s auf einmal unbekannt; wie üblich notiere ich in ( 2a ) den vorzunehmenden Umformungsschritt



    
          r  u  +  s  v  =  T   -  A      (  3a  )


    
    Und zwar bilden ( 3a ) ein LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten r und s , dessen ===> Koeffizientenmatrix ( KM )  ist vom Format 3 X 2 und hat Rang 2 . Größer kann der Rang nicht sein wegen

        " Zeilenrang = Spaltenrang "

       Kleiner auch nicht; denn u und v spannen ja die Ebene E auf, sind nicht ===> kollinear.
         Dann ist aber die ===> erweiterte KM QUADRATISCH vom format 3 X 3 ; einem Lehrsatz der AGULA gemäß kann LGS ( 3a ) überhaupt nur dann eine Lösung in r und s besitzen, wenn der Rang dieser erweiterten KM eben Falls 2 beträgt - ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .




          det  (  u  |  v  |  T  -  A  )  =  0        (  3b  )



     Manchmal ist es pädagogisch Sinn voll, eine Sache erst mal auf dem offiziellen kanonischen, aber hoch komplizierten Weg einzusehen. Wer kennt schon die anschauliche Bedeutung der Determinante? Die Determinante ist ein Spatvolumen ===> Spatprodukt.
   Kleiner IQ-Test gefällig? Quadrat verhält sich zu Rechteck wie Würfel zu ... ? Zu Quader .
   Und Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu ... ? Zu Spat .
   ( 3a ) sagt doch nichts anderes aus, als dass ( T - A ) in der von u und v aufgespannten Ebene liegt; die drei Vektoren sind ===> komplanar . Das von ihnen aufgespannte Volumen ist Null .
   Unser Musiklehrer " Pauli "

   " Welchen Notenwert hat der Pauli? "
   " Halbe Note; hohler Kopf mit Hals ... "

     pflegte zu sagen

   " Das war die Teorie. Die müsst ihr können; da verstehe ich keinen Spaß. Aber jetzt kommt die Praxis. "

    Sehen wir zu, was es bringt; Einsetzen von ( 1ab;2b ) in ( 3b )





                         |  4   2    x   |
             det  =   |  0   1  y-2  |     =  0       (  4a  )
                         | -3 -3   z-3  |





      Zum Einsatz kommt die ===> Sarrusregel

      " Hauptdiagonalen Minus Nebendiagonalen "



      
       det = [ 0 * ( - 3 ) - 1 * ( - 3 ) ] x + [ 2 * ( - 3 ) - 4 * ( - 3 ) ] ( y - 2 ) + ( 4 * 1 - 2 * 0 ) ( z - 3 ) = 0   (  4b  )

                                               3  x  +  6  (  y  -  2  )  +  4  (  z  -  3  )  =  0     (  4c  )

                                               3  x  +  6  y  +  4  z  =  24     (  4d  )     ;    Probe !

Comments

Ja. Es soll Leute geben die sich mit dem Kreuzprodukt totrechnen

N = [4, 0, -3] ⨯ [2, 1, -3] = [3, 6, 4]

E: X * [3, 6, 4] = [0, 2, 3] * [3, 6, 4]

E: 3x + 6y + 4z = 24 

Aber wenn man sich das genauer anschaut

X * [3, 6, 4] = [0, 2, 3] * [3, 6, 4]

X * [3, 6, 4] - [0, 2, 3] * [3, 6, 4] = 0

[3, 6, 4] * X - [3, 6, 4] * [0, 2, 3] = 0

[3, 6, 4] * (X - [0, 2, 3]) = 0

([4, 0, -3] ⨯ [2, 1, -3]) * (X - [0, 2, 3]) = 0

Nun steht links aber zufällig das Spatprodukt oder die Determinante. Die Determinantenformel ist also wie du selber weißt keine Hexerei.

Aber ob das jetzt über die Determinante einfacher ist als über das Kreuzprodukt überlasse ich jedem Leser hier selber zu entscheiden.

Das einzige was ich immer Schade an deinen Ausführungen finde, ist das du sie etwas ungeschickt verpackst. Verpacke den Stoff mehr Medienwirksam wie The Simple Math und du hättest viel mehr wissbegierige Leser.