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Welcher Punkt der Funktion ... liegt dem Koordinatenursprung am nächsten?

Wie kann man denn so eine Aufgabe ohne Taschenrechner lösen? Brauche Hilfe. Danke im Voraus

Unbenannt.png

von

Deine Funktion stimmt sicherlich nicht.
Bitte einmal ein Foto einstellen.

Doch, also die Aufgabe lautet: Welcher Punkt der Funktion f(x)=(x^2+1)/(x)-y liegt dem Koordinatenursprung am nächsten?

Die Funktion
f ( x ) = ( x^2+1) / (x) - y
hat 2 Variable x und y und müßte daher
f ( x,y ) = ( x^2 + 1) / (x) - y
geschrieben werden was ich allerdings
nicht glaube.
So kann ich dir nicht weiterhelfen.
Ein Foto wäre nicht schlecht.

hier nochmalUnbenannt.png

Also ich habe es als Funktionsschar interpretiert, also dass das y ein Parameter ist und nichts mit einer y-Koordinate zu tun hat. Nun kann man dann folgenden Ansatz starten. Man einen Punkt P auf dem Graphen:

$$ P(x/f(x)) $$ und den Koordinatenursprung $$ 0(0/0) $$

Der Abstand davon wäre also

$$ d(P;0)=\sqrt{(x-0)^2+(f(x)-0)^2}=\sqrt{x^2+\Bigg(\frac{x^2+1}{x}-y \Bigg)^2}=:d(x) $$

Jetzt wird die Sache richtig übel, weshalb ich auch glaube, dass die Aufgabe nicht vollständig sein wird. Denn da wir diese (Abstands-) Funktion auf Extremstellen untersuchen wollen, muss diese zum allen Übel abgeleitet werden. Das ist das Ergebnis davon. Sieht echt nicht schön aus.

$$ d'(x)=\dfrac{2x^4-yx^3+yx-1}{x^3\sqrt{\left(\frac{x^2+1}{x}-y\right)^2+x^2}} $$ Das wird Null gesetzt, wobei man nun nur mit dem Zähler zu rechnen hat:

$$ 2x^4-yx^3+yx-1=0 $$

Die Lösung per Hand auszurechnen wirde hier einen Schreibblock sprengen, weshalb man sowas lieber einem guten Helfer überlassen sollte:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E4-x%5E3y%2Bxy-1%3D0+solve+for+x

Jetzt wird es noch schlimmer. Denn man muss ja auch noch den ganzen Spaß in die zweite Ableitung einsetzen, um zu erfahren, welche Nullstellen den Kandidaten für ein Minimum sind. Aber das lasst mal lieber (Ich weiß, dass sich keiner dran halten wird ^^), denn die zweite Ableitung ist sehr heftig. Und daher stimmt mit dieser Aufgabe wirklich was nicht !!!

Aufgefasst als Koordinatengleichung z=(x^2+1)/x-y sieht es so aus:

blob.png

1 Antwort

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Hier zunächst der Graph für eine Funktion
mit y = 0

gm-121a.JPG

Für den Abstand nehmen wir den Pythagoras.
Da term ´ und ( √ term ) ´ an der selben Stelle
den Extrempunkt haben können wie bei der
1.Ableitung auch die Form ohne Wurzel nehmen.

Es ergibt sich

( 4 * x^4 - 2 ) / x^3 = 0
x = -0.84
x = 0.84

Falls die Aufgabe im Unterricht besprochen wird
wäre ich interessiert davon zu hören.

von 111 k 🚀

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