Zeige, dass das Hausdorffsche Trennungsaxiom nicht erfüllt ist.

Question

Sei X eine unendliche Menge. Auf X führen wir nun die folgende Topologie ein: 

Offene Mengen ausser die leere Menge und X sind alle Teilmengen U \(\subset\) X sd X\U eine endliche Menge.

Zeige, dass das Hausdroffsche Trennungsaxiom nicht erfüllt ist.

Answer 1

Hausdorffaxiom sagt doch: Für je zwei verschiedene a,b aus X gibt es disjunkte

Umgebungen für a und b. Die Umgebungen von a bzw. b sind außer X die Mengen U,

die a bzw. b enthalten und deren Komplement endlich ist.

Seien also a ungleich b aus X. Wären U(a) und U(b) offene Mengen, die disjunkt sind,

läge U(b) im Komplement von U(a), also wäre U(b) endlich.

Dann wäre aber das Komplement von U(b) unendlich, weil X unendlich ist,

und damit kann U(b) nicht offen sein. Widerspruch!

Also ist Hausdorff nicht erfüllt.