Bestimmung der x0-Stelle mittels H-Methode

Question

Guten Morgen euch allen,

ich soll die Ableitungen der Funktionen an der Stelle x0 berechnen. Hierfür habe ich die h-Methode verwendet.

Die Funktionen sind

a) f(x) = x³ - x²

b) g(x) = x² + 4x

Meine Ansätze sind:

a)

f(x) = x³ - x²

f’(x) = 3x² - 2 x

f’(x) = lim        f(x + h) – f (x) =

            h -> 0            h

                         3(x + h)² - (3x² - 2x) =

                                  h

                          3x² + 2h² - 3x² + 2x =

                                   h

                         2h² + 2x =

                               h

                         h(2h + 2x) =

                               h

                             2h + 2x

 

 

b)

g(x) = x² + 4x

g’(x) = 2x + 4

g’(x) = lim        f(x + h) – f (x) =

            h -> 0            h

                         2(x + h) - (2x + 4) =

                                  h

                           2x + 2h – 2x - 4 =

                                  h

                           2h  - 4 =

                                  h

                           h(2 - 4 =

                                  h

                           2-4 =

                              -2

 

Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich richtig gerechnet habe. Und wie ich weiter machen muss.

Chris

Comments

Meiner Meinung nach hast du falsch gerechnet.

Schon die Überschrift ist falsch. Du sollst keine Stelle x0 bestimmen
sondern du sollst die 1.Ableitung mit Hilfe der h-Methode
bestimmen. Vermute ich.

Jetzt hast du in deinem ersten Schritt aber bereits die 1.Ableitung
über die Differentialrechnung gebildet. Was soll dann noch ein
weiteres differenzieren nach der h-Methode.

Meine Einschätzung

( f ( x + h ) - f ( x ))  / h  für die angegebenen Funktion ist durchzuführen.

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

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Danke für deine Antwort.

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Falls du weitere / andere Fragen hast dann wieder im Forum einstellen.

Answer 1

a)

f(x) = x³ - x²

(  f’(x) = 3x² - 2 x  )

Das ist falsch ! Du sollst ja f ' (x)  mit der h-Methode bestimmen, also so

f ' (x) = lim        f(x + h) – f (x) =

            h -> 0            h

                         (x + h)³ - (x + h)²   -   ( x³ - x²) =

                                  h

                            (x³ +3x^2h+3xh² + h³ ) - (x² +2xh+ h² ) - ( x³ - x²) =

                                   h

                         3x^2h+3xh² + h³  -2xh - h² =

                               h

                       3x^2h+3xh² + h³  -2xh - h² =

                               h

                         h(3x² + 3xh + h² - 2x - h ) =

                               h

                             3x² + 3xh + h² - 2x - h

Und der Grenzwert für h gegen 0 ist  3x² - 2x .

Das ist das Ergebnis, das du vorher mit den Ableitungsregeln bestimmt

hast, hier ging es darum das mit der h-Methode herzuleiten.

Bei b entsprechend.

 

Comments

Danke für deine schnelle Antwort. Irendwie bin ich verwirrt. Wenn ich die Ableitung einer Funktion bestimme, habe ich somit auch die Stelle x0 dieser bestimmt?

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Dank dir für deine ausführliche Antwort. Ich habe es jetzt verstanden. Hat einen Moment gedauert.

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> Wenn ich die Ableitung einer Funktion bestimme, habe ich somit auch die Stelle x0 dieser bestimmt?

Die Ableitung einer Funktion ist selbst wieder eine Funktion. Diese Ableitungsfunktion kann verwendet werden, um an jeder Stelle die Steigung der Tangete der Funktion zu berechnen. Diese Stelle, an der du dann die Steigung der Tangete berechnest, wird oft mit x₀ bezeichnet.

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Danke, dass hilft mir weiter!!!

Answer 2

Du sagst zwar richtigerweise f’(x) = lim_h→0 (f(x + h) – f (x)) / h, wenn's dann aber ans einsetzen geht, dann verwendest du f'(x+h), anstatt f(x+h).

Du müsstest bei a) den Ausdruck f(x + h) durch (x+h)³ ersetzen, nicht durch 3(x+h)².

Wenn du die h-Methode verwendest, dann vergiss so lange die Ableitungsregeln. Die h-Methode ist sozusagen die ursprüngliche Methode, Ableitungen zu berechnen. Mit der h-Methode kann man Ableitungsregeln entdecken. Ich weiß nicht, warum sie im Schuluntericht stattdessen dazu verwendet wird, Schüler zu foltern.

Nebenbei hast du auch die binomische Formel nicht beachtet. Du hast 3(x+h)² umgeformt zu 3x+h². Richtig wäre gewesen:

3(x+h)² = 3(x²+2xh+h²) = 3x²+6xh+3h²

Comments

Danke dir für deine Anmerkung. Ja, die binomische Formel habe ich komplett falsch angewendet.