Fouriertransformation Sinus (Frequenz) mit Amplitude != 1 (Anfänger)

Question

im folgenden Link wird die Fouriertransformation in den Frequenzbereich einer Sinusfunktion gezeigt:
http://mathworld.wolfram.com/FourierTransformSine.html

\( \begin{aligned} \mathcal{F}_{x}\left[\sin \left(2 \pi k_{0} x\right)\right](k) &=\int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-2 \pi i k x}\left(\frac{e^{2 \pi i k_{0} x}-e^{-2 \pi i k_{0} x}}{2 i}\right) d x \\ &=\frac{1}{2} i \int \limits_{-\infty}^{\infty}\left[-e^{-2 \pi i\left(k-k_{0}\right) x}+e^{-2 \pi i\left(k+k_{0}\right) x}\right] d x \\ &=\frac{1}{2} i\left[\delta\left(k+k_{0}\right)-\delta\left(k-k_{0}\right)\right] \end{aligned} \) 

Dort ist die Amplitude = 1. Wenn die Ampltiude aber nicht 1 ist (Konstante A), kann ich sie einfach an den Ergebnisterm hängen?

= A*(1/2)*i* ....

Außerdem: Warum ist bei Wikipedia die Einheit "i" im Nenner des Bruches bei dem Ergebnisterm (rechte Spalte)?

\( \sin (a t) \quad | \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2 i} \quad | \frac{\delta\left(f-\frac{a}{2 \pi}\right)-\delta\left(f+\frac{a}{2 \pi}\right)}{2 i} \)

Liegt es daran, dass die Vorzeichen im Zähler vertauscht sind?
Danke

Comments

Also bei dem zweiten Teil vermute ich mal, dass folgender Trick angewandt wurde:

-1 = i*i

Damit würde es nach oben wandern

Answer 1

§1: Konstanten kann man vor das Integral schreiben.

das 1/(2*i) ist schon eine Konst., d.h. man kann natürlich auch

A/(2*i) vor das Integral schreiben

§2: 1/i = -i

statt das Minuszeichen {entspricht konst. Faktor (-1) } vor das Integral mit zu schreiben,

ist es vor die beiden e-Funktionen gewandert:

aus e^a-e^b wurde -e^a+e^b