X sei normalverteilt mit µ = 4,5 und σ = 2,5.
P(|X| ≥ 8)
= P(X ≤ −8) + P(X ≥ 8)
= P(X ≤ −8) + 1 − P(X < 8)
= P(X ≤ −8) + 1 − P(X ≤ 8)
= Φ((−8−4,5) / 2,5) + 1 − Φ((8−4,5) / 2,5))
= Φ(−5) + 1 − Φ(1,4)
= 1 − Φ(5) + 1 − Φ(1,4)
= 1 − 1,00 + 1 − 0,9192
= 0,0808
P(X<6)
= P(X ≤ 6)
= Φ((6−4,5) / 2,5))
= Φ(0,6)
= 0,7257
P(1≤X≤3)
= P(X ≤ 3) − P(X < 1)
= P(X ≤ 3) − P(X ≤ 1)
= Φ((3−4,5) / 2,5) − Φ((1−4,5) / 2,5))
= Φ(−0,6) − Φ(−1,4)
= 1 − Φ(0,6) − (1 − Φ(1,4))
= Φ(1,4) − Φ(0,6)
= 0,9192 − 0,7257
= 0,1935
P(|X−µ| ≤ 1,9σ)
= P(µ−1,9σ ≤ X ≤ µ+1,9σ)
= P(X ≤ µ+1,9σ) − P(X < µ−1,9σ)
= P(X ≤ µ+1,9σ) − P(X ≤ µ−1,9σ)
= Φ((µ+1,9σ−µ) / σ) − Φ((µ−1,9σ−µ) / σ)
= Φ(1,9) − Φ(−1,9)
= Φ(1,9) − (1 − Φ(1,9))
= 2*Φ(1,9) − 1
= 2*0,9713 − 1
= 0,9426
Anmerkungen:
(1) Schritte wie "P(X<6) = P(X ≤ 6)" begründen sich aus der Stetigkeit der Normalverteilung und müssen nicht jedesmal hingeschrieben werden.
(2) Umrechnungen wie "Φ(−5) = 1 − Φ(5)" werden bei der Verwendung von Tabellen, die Φ(Z) und Φ(−Z) auflisten, nicht benötigt.
Nun muss man sich jeden Schritt ansehen und verstehen, warum der dort steht. Man wird feststellen, dass trotz der kleinen Unterschiede im Detail immer dasselbe Schema dahinter steckt.
