Für Funktionen n-ten Grades brauchen wir n + 1 Informationen, um ihre Gleichung bestimmen zu können,
also für eine Gerade (1. Grades) brauchen wir 2 Informationen,
für ein Polynom 2. Grades (ax^2 + bx +c) brauchen wir 3 Informationen
etc.
a)
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + bx + c
Diese Funktion geht durch (0|0)
also f(0) = 0
Sie hat in (0|0) einen Hochpunkt, also ist dort die Steigung (die erste Ableitung) = 0:
f'(0) = 0
Sie verläuft durch (1|0):
f(1) = 0
und durch (2|4):
f(2) = 4
f(0) = d = 0
f'(0) = c = 0
f(1) = a + b + c + d = 0
f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 4
a + b = 0 => 4a + 4b = 0
8a + 4b = 4
=>
4a = 4
a = 1
b = -1
c = 0
d = 0
Die Funktion lautet also
f(x) = x^3 - x^2
b)
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a
f(0) = 3
f(1) = 1
f'(1) = 0 wegen Tiefpunktes
f''(0) = 0 wegen Wendepunktes
f(0) = 3 = d
f(1) = 1 = a + b + c + d
f'(1) = 3a + 2b + c = 0
f''(0) = 2b = 0
a = 1
b = 0
c = -3
d = 3
f(x) = x^3 - 3x + 3
c)
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c
f'''(x) = 24ax + 6b
f''''(x) = 24a
f(0) = 1
f(1) = -1
f(2) = 5
Und wegen Symmetrie zur y-Achse gilt auch
f(-1) = -1
Das kannst Du jetzt doch sicher selbst ausrechnen :-)
d)
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a
f(3) = 54
f'(3) = 0 wegen Hochpunktes
f(-3) = -54 wegen Punktsymmetrie zum Ursprung
Und wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung muss die Funktion auch in (-3|-54) einen Tiefpunkt haben, also einen Anstieg von 0:
f'(-3) = 0
e)
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a
f(0) = 2
f'(0) = 0 wegen Hochpunktes
f(2) = 2
Die Funktion muss im Punkt (2|2) den gleichen Anstieg wie die Tangente y = 2x - 2 haben, also y' = 2; demzufolge:
f'(2) = 2
f(0) = d = 2
f'(0) = c = 0
f(2) = 8a + 4b + 2 = 2
f'(2) = 12a + 4b = 2
a = 0,5
b = -1
c = 0
d = 2
Die Funktion lautet also:
f(x) = 0,5x^3 - x^2 + 2
