Hi,
mit der Givens Transformation kann man z.B. eine Matrix \( A \) in eine obere Dreiecksmatrix transformieren.
Will man das \( (i,j)-te \) Element der Matrix \( A \) zu Null bekommen, ist die Givens Matrix \( G \) wie folgt definiert.
$$ G_{i,i}= G_{j,j}=c $$ und
$$ G_{i,j}=-G_{j,i}=s $$ und
$$ G_{k,k}=1 $$ für \( k\ne i \) und \( k\ne j \) die restlichen Element sind \( 0 \)
Die Größen \( c \) und \( s \) sind wie folgt definiert$$ c=\frac{a_{j,j}}{\sqrt{a_{j,j}^2+a_{i,j}^2}} $$ und
$$ s=\frac{a_{i,j}}{\sqrt{a_{j,j}^2+a_{i,j}^2}} $$
Zuerst will man das \( (2,1) \) Element des Vektors \( x=\begin{pmatrix} 4\\-3\\1 \end{pmatrix} \)zu Null bekommen und danach das \( (3,1) \) Element des resultierenden Vektors. Also lautet die Transformation
$$ G_{3,1}G_{2,1}x $$ mit
$$ G_{2,1}=\begin{pmatrix} c & s & 0 \\ -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.8 & -0.6 & 0 \\ 0.6 & 0.8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ und
$$ G_{3,1}=\begin{pmatrix} c & 0 & s \\ 0 & 1 & 0 \\ -s & 0 & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0.981 & 0 & 0.196 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0.196 & 0 & 0.981 \end{pmatrix} $$
Das ergibt dann den transformierten Vektor
$$ \begin{pmatrix} 5.099\\0\\0 \end{pmatrix} $$
