Zeige im Vektorraum der nxn-Matrizen, dass folgende Mengen offen, abgeschlossen...

Question

Sei \(M_n(\mathbb{R})=\mathbb{R}^{nxn}\) der Vektorraum der reellen nxn- Matrizen.

Zeige

1.) \(GL_n(\mathbb{R})\)={\(A\in M_n(\mathbb{R}): \det(a)\neq 0\)} ist offen und unbeschränkt

2.) \(SL_n(\mathbb{R})\)={\(A\in M_n(\mathbb{R}): \det(a)=1\)} ist abgeschlossen und unbeschränkt

1.) \(O_n(\mathbb{R})\)={\(A\in M_n(\mathbb{R}):A^tA=AA^t=E_n \)} ist kompakt

Answer 1

Hi,
ein paar Anregungen zu den Aufgaben.
Zu (1)
$$ \det(A) = \sum_{\pi \in S_n} (-1)^\pi a_{1,\pi(1)} \cdots a_{1,\pi(n)} $$ damit ist \( \det(A) \) ein Polynom vom Grade \( n \) in \( n^2 \) Variablen und somit eine stetige Abbildung. Für stetige Abbildungen gilt, das Urbild einer offenen Menge ist offen.
Es gilt $$ GL_n(\mathbb{R})=det^{-1}\mathbb{R}/\{0\} $$ Da die Menge \( \mathbb{R}/\{0\} \) offen ist ist auch \( GL_n(\mathbb{R}) \) offen.

Die Matrix \( D_n = \text{diag}(n,\frac{1}{n},1\cdots 1) \) hat eine Determinate ungleich Null, nämlich \( 1 \), aber  $$ \| D_n\|_2 \rightarrow \infty $$

Zu (2)
Die Abbildung \( f(A) = \det(A)-1 \) ist stetig und \( SL_n(\mathbb{R}) = f^{-1} \{0 \} \) Da die Menge \( \{0\} \) abgeschlossen ist ist auch das Urbild abgeschlossen und somit \( SL_n(\mathbb{R}) \). Die Unbeschränktheit geht wie bei (1)

Comments

Kannst du mir die Unbeschränktheit nochmals erklären? also wieso 

$$||D_n||_2 \rightarrow\infty$$

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Hi,
es gilt
$$ \| D_n \|_2^2 = n^2 + \frac{1}{n^2} + (n-2) $$ also
$$ \| D_n \|_2^2 = n^2\left(1+\frac{1}{n^4}+\frac{n-2}{n^2}\right) $$ also
$$ \| D_n \|_2 = n\sqrt{\left(1+\frac{1}{n^4}+\frac{n-2}{n^2}\right)} $$
Der Wurzelausdruck geht gegen \( 1 \) und damit der ganze Ausdruck gegen \( \infty \)

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Okay für 1 und 2.) habe ich das jetzt verstanden und konnte alles zeigen. Danke schonmal

Bei 3.) muss ich ja zeigen dass es abgeschlossen ist und beschränkt.

abgeschlossen habe ich geschafft, wie zeige ich aber Beschränktheit?

Ich nehme an wieder ähnlich wie bei den anderen, aber welche Matrix nehme ich, die ich betrachte?

Kann ich dort gerade En betrachten? 

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Hi,
es gilt $$ \left(AA^T\right)_{i,j} = \sum_{k=1}^n a_{k,i} a_{k,j} = \delta_{i,j} $$ Für \( i= j \) folgt
$$ 1 = \sum_{k=1}^n a_{k,i}^2 $$ D.h. es gilt \( |a_{i,j}| \le 1 \) für \( 1 \le i,j \le n \)
Also folgt $$ \|  A \|_2 = \sqrt{ \sum_{i,j}^n \left| a_{i,j} \right|^2 } \le \sqrt{n^2} = n $$ Damit ist A beschränkt.