Wie zeige ich hier die Wohldefiniertheit? (Metrik, Folgen)

Question

Hallo liebe Mathematiker,

ich stehe hier nun vor folgender Aufgabe und habe zunächst eine Verständnisfrage:

Was kann man sich unter "Menge aller Folgen.." vorstellen. Ich hätte auch keine Ahnung wie ich damit rechnen könnte..
Schwierigkeiten habe ich bei der Aufgabe b und c.. 
Könnte mir eventuell jemand einen Tipp geben, einen Ansatz oder sogar die Lösung? 
Zum reinkommen ist es ganz gut mal zu sehen, wie so eine Aufgabe gelöst wird^^

Vielen :D

Answer 1

Was kann man sich unter "Menge aller Folgen.." vorstellen

na alle denkbaren Forlgen etwa

1,2,3,4,5,6,7, 8,   

1, -1 , 1 , -1  , 1 , -1 

0,  0,1   0,01    0,001    0,0001   

wenn du dir das so vorstellst, etwa die erste und die gleiche mit den

entsprechenden negativen Zahlen, siehst du, dass  | x_k - y_k |  jede nicht negative

Zahl sein kann. Allerdings ist bei   (    | x_k - y_k |     /    (   1  +   | x_k - y_k |  )  

der Zähler immer um 1 kleiner als der Nenner, die Brüche sind also alle ≥ 0

und kleiner 1 .

Damit sind die Summanden in der Reihe maximal 2 ^-k  und  dieses gibt die

geometrische Reihe mit q = 1/2 ,  konvergiert also.

und bei b : multipliziere mit dem Hauptnenner ( da alles positiv ist kein Problem) und

fasse alles zusammen. Ich komme auf

0 ≤ 2ab + a^2 b + a b^2  was offenbar stimmt.

Comments

Vielen Dank erstmal für die tolle und ausführliche Erklärung. Hat mir sehr geholfen :D

---

Hi,

Ich habe doch noch eine Frage:
Und zwar habe ich bis auf die Aufgabe d) alles geschafft

Um zu zeigen, dass delta eine Metrik auf F ist, muss ich

1) die Definitheit zeigen
2) Symmetrie
3) Dreiecksungleichung

bei 3) habe ich ein Problem ( wahrscheinlich weil es viele Summen sind^^)
ich habe versucht die Summen auf der rechten Seite der Ungleichung zusammen zu fassen aber komme da nicht weiter..

Könnten Sie mir da auch ein Tipp geben ? ^^

---

bei 3) habe ich ein Problem ( wahrscheinlich weil es viele Summen sind^^)
ich habe versucht die Summen auf der rechten Seite der Ungleichung zusammen zu fassen aber komme da nicht weiter..

Könnten Sie mir da auch ein Tipp geben ? ^^

Wir sagen hier alle DU.

Ich glaube, dass du schon auf dem richtigen Wege bist.

Auf der rechten Seite 

delta ( x,z ) + delta ( z,y)  hast du die beiden Summen sicher zu einer gemacht

Summe k = 1 bis unendlich mit den Summanden

   2^-k *   | x_k - z_k | / ( 1 + | x_k - z_k | )  +   (2^-k *   | z_k - y_k | / ( 1 + | z_k - y_k | )  

du brauchst nur die Summanden zu betrachten und 2^-k auszuklammern gibt:

  2^-k * (  | x_k - z_k | / ( 1 + | x_k - z_k | )  +    | z_k - y_k | / ( 1 + | z_k - y_k | )  )    ##

und wenn du das in der Klammer anschaust

mit a= | x_k - z_k |  und  b =   | z_k - y_k |  dann ist das die rechte Seite von

Teilaufgabe b) , also kannst du sagen:

≥    (    | x_k - z_k |  +    | z_k - y_k | )    /    (    1  +    | x_k - z_k |  +    | z_k - y_k | )  #

und jetzt kommt Teilaufgabe c) ins Spiel: 

Dieser Bruch entspricht   x /  ( 1+x ) wenn du x als        | x_k - z_k |  +    | z_k - y_k | 

interpretierst.   Und wegen der "normalen" Dreiecksungleichung ist

| x_k - z_k |  +    | z_k - y_k |     ≥    | x_k - y_k |  also wegen der Monotonie ist  #

≥     | x_k - y_k |    /    (    1  +    | x_k - y_k |  )  .

Jetzt zurück zu ##:

wenn die Klammer ≥     | x_k - y_k |    /    (    1  +    | x_k - y_k |  )  ist,

dann ist  ##  ≥    2^-k * (  | x_k - y_k |    /    (    1  +    | x_k - y_k |  ) )

und damit sind bei den ursprünglichen Summen die Summanden der linken

Seite alle ≤  den Summanden der rechten Seite. Weil alles pos. ist, gilt das

auch für die ganze Summe und die Dreiecksungl. ist bewiesen.

---

Hat etwas gedauert aber nun habe ich es verstanden
vielen vielen dank :D 
sehr nett ^^