Ich würde die Koordinatenform von E in eine Parameterdarstellung verwandeln und dann g und E gleichsetzen.
Wählen wir also willkürlich 3 Punkte aus E aus:
A (3|2|1) ist in E enthalten, denn 4*3 - 2*2 = 8
B (2|0|0) ist in E enthalten, denn 4*2 - 2*0 = 8
C (4|4|3) ist in E enthalten, denn 4*4 - 2*4 = 8
Wir erhalten die Parameterdarstellung der Ebene
E: v = A + r*(A-B) + t*(A-C) =
(3|2|1) + r*(1|2|1) + t*(-1|-2|-2)
Der Stützvektor von g (b-3|-3b|4) soll ja dann in der Ebene liegen (wir setzten s = 0):
b - 3 = 3 + r - t => b - r + t = 6
-3b = 2 + 2r - 2t => -3b -2r + 2t = 2
4 = 1 + r - 2t => -r + 2t = -3
b = 2
r = -11
t = -7
Der Punkt der Gerade (-1|-6|4) + 1*(12|a|0) muss natürlich auch in der Ebene liegen, also:
(-1|-6|4) + 1*(12|a|0) = (3|2|1) + r*(1|2|1) + t*(-1|-2|-2)
-1 + 12 = 3 + r - t => -r + t = -8
-6 + a = 2 +2r - 2t => a - 2r + 2t = 8
4 = 1 + r - 2t => -r + 2t = -3
a =24
r = 13
t = 5
Nun haben wir a und b und damit die Geradengleichung
g: x = (-1|-6|4) + s*(12|24|0)
Einen Richtungsvektor darf man auch kürzen, deshalb
g: x = (-1|-6|4) + s*(1|2|0)
Liegt diese Gerade tatsächlich in E: 4x - 2y = 8 ?
4*(-1 + s) - 2*(-6 + 2s) =
-4 +4s + 12 - 4s = 8
Ja :-)
