Zeigen, ob Funktion gleichmäßig ist

Question

ich soll zeigen, dass die Funktion f_n: ℝ→ℝ, definiert durch:

$$  f_n(x) =  \frac { x }{ 1+n{ x }^{ 2 } } $$

gleichmäßig auf ℝ ist mit f_n n→∞ → 0

Wir haben uns überlegt:

$$\frac { x }{ 1+n{ x }^{ 2 } }  = \frac { 1 }{ \frac { 1 }{ x } +n{ x } }  ≤ \frac { 2 }{ n } $$

Haben nun gesagt, dass es gleichmäßig ist, das kein N(ε) abhängig von x existiert.

Stimmt das so?

Comments

gleichmässig stetig oder gleichmässig konvergent?

Was ist "es" ? Eine Funktionenfolge ?

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In der Aufgabe steht auch nur gleichmäßig, aber wir vermuten, dass es um gleichmäßig konvergent geht.

Mit "es" meinte ich die Funktionenfolge, genau.

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Habe mir die Aufgabe gerade nochmal angeguckt. Würde es auch folgendermaßen gehen:

\( | f_n (x) - 0| = | \frac{x}{1+n{x}^{2}} | = | \frac {1}{\frac{1}{x} + nx}| < |\frac {1}{nx}| ≤ |\frac {1}{n}| ≤ ε\)

=> \( f_n \) konvergiert gleichmäßig gegen 0 für n→∞

?

Answer 1

Ich würde an die Umformung zumindest x ungleich 0 dran

schreiben, aber für x=0 ist aber es ist ja sowieso f_n(0) = 0, also

kein Problem. 

Dann wäre da ja auch der Betrag von dem Ganzen zu betrachten, aber

damit kommt es wohl hin.