Polynom mit Bedingungen aufstellen

Question

Woher weiß ich, welchen Grades ein Polynom sein muss? Inwiefern hängt das mit den Bedingungen ab? Ist jede Bedingung gleichwertig?

Wenn ich zwei feste Nullstellen haben soll und einen festen Wendepunkt, welchen Grades muss mein Polynom dann sein?

Wie viele wenn ich nur zwei feste Extremstellen haben soll?

Ich verstehe nicht den Zusammenhang, wann ich welches Polynom brauche mit den Bedingungen. Ist aber für beispielsweise Trassierung oder Biegemoment bei Brücken wichtig.

Answer 1

der Grad des gesuchten Polynoms ist um 1 kleiner als die Anzahl der Bedingungen.

Beispiel:  f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Der Grad ist 3, du brauchst für die Berechnung der 4 Unbekannten a,b,c und d vier Gleichungen, also 4 Bedingungen.

Zwei Nullstellen und ein Wendepunkt W ergeben  drei Bedingungen der Form  f(x_P) = y_P , weil man drei Punkte hat und die Bedingung f ''(x_W) = 0  → es wird ein Polynom 3. Grades festgelegt.

Zwei Extrempunkte ergeben 2 Bedingungen der Form  f(x_P) = y_P , weil man 2 Punkte hat und 2 Bedingungen der Form f '(x_E) = 0,  legen also ebenfalls ein Polynom 3. Grades fest.

Gruß Wolfgang

Comments

Der Grad eines Polynoms ist im kleinsten Falle  (und Ingenieure gehen wohl davon aus, dass der kleinste Grad gesucht ist) um 1 kleiner als die Anzahl der Bedingungen. Theoretisch können  natürlch Bedingungen ungenannt bleiben.

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Wenn man nun zwei feste Wendepunkte einbringen muss, muss das Polynom dann 4. Grades sein?

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mit zwei Wendepunkten hast du nur 2 Bedingungen der Form f(x_P) = y_P und 2 Bedingungen der Form f ''(x_W) = 0.

Du kannst also nur 4 Unbekannte bestimmen. Da eine Funktion 3. Grades mit f ''(x) = 6ax + 2b  aber genau einen Wendepunkt hat, muss die Funktion mindestens 4. Grades mit 5 Unbekannten Koeffizienten sein. Es fehlt also eine Bedingung.

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Woher kommen die 2 Bedingungen der Form f(x_P) = y_P ? Wenn nur zwei Wendepunkte gefragt waren?

Außerdem habe ich es mir so überlegt: Wenn man zwei Wendepunkte braucht, muss f(x) 4. Grades sein, da f''(x) mindestens eine quadratische Funktion sein muss, damit da zwei Nullstellen möglich sind. Ist dies soweit richtig?

Was heißt eigentlich das untergeskriptete "p"? 

Kann nochmal der Zusammenhang mit den Unbekannten und den Bedingungen erklärt werden? Wann brauche ich wie viele Gleichungen für wie viele Unbekannte und wieso?

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P bedeutet einfach "Punkt"

2 gegebenen Wendepunkte sind 2 Punkte,  also 2 Bedingungen der Form   f(x_P) = y_P 

Du brauchst eine Bedingung mehr als den Grad des gesuchten Polynoms. Steht aber in der Antwort auch schon:

>   Grad des gesuchten Polynoms ist um 1 kleiner als die Anzahl der Bedingungen.

Beispiel:  f(x) = ax³ + bx² + cx + d  

  ( Grad 3, 4 Unbekannte → 4 Gleichungen, also 4 Bedingungen)

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Ich habe nun eine Aufgabe, in der ein Straßenstück von Punkt (0|0) zu Punkt (-50|5) verlaufen soll. Dabei werden zwei waagerechte, gerade Straßen verbunden.
Diese Verbindung muss versatz-, knick- und krümmungsruckfrei sein. Das heißt die Stellen der Punkte müssen in den nächsten zwei Ableitungen 0 sein.

Ich habe nun folgende Bedingungen:

f(0) = 0
f(-50) = -5

f'(0) = 0
f'(-50) = 0

f''(0) = 0
f''(-50) = 0

Das sind in meinen Augen 6 Bedingungen. Der Grad des Polynoms muss also mindestens 5 sein mit 6 Unbekannten. Richtig?
Wenn das nun aber richtig ist, warum kann es nicht ein Polynom 4. Grades sein, wenn die zweite Ableitung → quadratische Funktion schon die Fähigkeit hat, zwei Nullstellen zu besitzen?

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aus dem, was du schreibst ergeben sich die Bedingungen nicht zwingend.

Originaltext?

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Dies ist die Teil Aufgabe, an Punkt (0|0) fängt eine waagerechte Straße an, die nach rechts geht im Koordinatensystem.  Links von Punkt(-50|-5) ist ebenso eine waagerechte Straße. Diese Punkte sollen nun so verbunden werden, dass sie halt versatz-, knick- und krümmungsfrei sind.

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Deine Bedingungen sind richtig und ja, du musst eine Funktion (mindestens) 5. Grades bestimmen.

Allerdings ergeben sich die drei letzten Unbekannten direkt zu 0, wenn man in f, f ' und f '' x=0 einsetzt und jeweils den Wert 0 erhält. Es bleiben also nur 3 Gleichungen mit den Unbekannten a,b und c.

 

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Aber warum kann es nicht ein Polynom 4. Grades sein, wenn dessen zweite Ableitung eine quadratische Funtkion ist, die schon die Möglichkeit hat, 2 Nullstellen zu besitzen?

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Die Wendepunkte mit der Steigung 0 müssen Sattelpunkte sein und ein Polynom 4. Grades hat höchstens einen Sattelpunkt.