Zeigen, dass Eigenräume invariant sind

Question

Aufgabe:

Es seien \( K \) ein Körper und \( V \) ein endlich-dimensionaler \( K \)-Vektorraum. Weiter seien \( \Phi \) und \( \Psi \) Endomorphismen von \( V \) mit \( \Phi \circ \Psi=\Psi \circ \Phi \). Zeigen Sie:

(a) Die Eigenräume von \( \Phi \) sind \( \Psi \)-invariant.

(b) Sind \( \Phi \) und \( \Psi \) diagonalisierbar, so sind \( \Phi \) und \( \Psi \) auch simultan diagonalisierbar, d. h. es gibt eine Basis \( B \) von \( V \), so dass sowohl \( D_{B, B}(\Phi) \) als auch \( D_{B, B}(\Psi) \) Diagonalgestalt haben.

Answer 1

a)  statt phi und psi nehme ich mal f und g

wenn also fog = gof dann sind die Eigenräume von f also g-invariant

d.h,. wenn E ein Eigenraum von f ist, dann ist g(E) ⊆ E.

Sei also E ein Eigenraum von f, etwa zum Eigenwert L, dann gilt

für alle x aus E   f(x) = L*x.

Also gilt für alle x aus E auch

L*g(x) = g(L*x)      ( weil g ein Endom. ist)

   =  g( f(x))   ( weil x  Eigenvektor zum  Eigenwert  L.)

= f(g(x) )     ( nach Vor.)

Also ist  f ( g(x) ) =  L * g(x) und damit g(x) ein Eigenwektor

von f und also g(x) aus E.           q.e.d.

b)  siehe:

https://www.uni-due.de/~hx0050/lehre-bonn/la1-uebl/loesung14.pdf