f(x) = exp(-1/2 x²) genügt der Differentialgleichung f ' (x) = -x f(x) mit f(0) = 1...

Question

bei folgender Aufgabe stehe ich zurzeit ein wenig auf dem Schlauch:

Zeigen Sie, dass f(x) = exp(-1/2 x²) der Differentialgleichung f ' (x) = -x f(x) mit f(0) = 1 genügt. Zeigen Sie, dass umgekehrt jede differenzierbare Funktion f : ℝ → ℝ mit f(0) = 1, die obiger Differentialgleichung genügt, notwendig die angegebene Form besitzt.

Ich verstehe nicht genau, wie der auszuführende Beweis aussehen soll. Ich vermute jedoch, dass folgender Satz eventuell bei der Lösung der Aufgabe hilfreich sein könnte:

(Exponentielle Wachstumsgleichung) Sei f : ℝ → ℝ eine differenzierbare Funktion mit f(0) = 1 und f ' (x) = a f(x) für alle x ∈ ℝ mit einem a ∈ ℝ. Dann gilt f(x) = e^ax für alle x ∈ ℝ.

Kann jemand vielleicht etwas damit anfangen? :)

Answer 1

Sei  f  eine differenzierbare Funktion mit  f'(x) = -x·f(x)  und  f(0) = 1.
Definiere eine Funktion  h  durch  h(x) := exp(x²/2)·f(x).
Ableiten liefert nach Voraussetzung und der Produktregel
h'(x) = x·exp(x²/2)·f(x) + exp(x²/2)·f'(x) = x·exp(x²/2)·f(x) - x·exp(x²/2)·f(x) = 0.
D.h. es existiert eine Konstante  c ∈ ℝ  mit  h(x) = c.
Daraus folgt  f(x) = c·exp(-x²/2).
Wegen  f(0) = 1  ist  c = 1.