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(a)     lim x→∞ √(x+3) - √x .

(b)     lim x→0  sin(ax)/sin(bx)   (a-0, b-0) . Die "-" sind mit einem schrägen Strich durchgestrichen


Hinweis, für den zweiten Grenzwert verwende man  lim x→0  (sin(x)/x) -1

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 lim x→0  (sin(x)/x) -1 ?

Meinst du  lim x→0  (sin(x)/x) -1 = 0 ? 

2 Antworten

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a) vgl. https://www.mathelounge.de/235787/grenzwert-einer-differenz-wurzeln-lim-fur-gegen-unendlich

b) lim x→0  sin(ax)/sin(bx)   (a ≠ 0, b ≠ 0)      | "erweitern"

lim x→0  (ax)/(bx) *   (sin(ax)/(ax)) /(sin(bx)/(bx))     | Kürzen und Tipp anwenden. 

= (a/b) * (1)/(1) = a/b 

Avatar von 162 k 🚀
Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen :)
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   Zu a) ; zu den Wurzeln. Diese ad hoc 3. binomische hält sich äußerst hartnäckig; was tätest du denn, wenn da keine Quadratwurzel, sondern eine 4 711. Wurzel stehen würde?
  Es gibt da ein Genie, dessen Namen ich leider nicht behalten habe; auf dem Konkurrenzportal ===> Ly cos haben die ziemlich viele Genies. Der löste deine Aufgabe für den Fall, dass da Kubik-statt Quadratwurzeln stehen.
  Ich bin heute zu der Einsicht gelangt, dass der ursprünglich in Ly cos veröffentlichte Vorschlag zu unflexibel ist; bei dem Vorschlag handelt es sich quasi um eine Verallgemeinerung der Inversion am Einheitskreis.




      x  ^  r  =  1 / z  ^  k  ;  r  €  |R  ;  k  €  N  ;          lim             (  1a  )

                                                                         z ===> 0

    Und zwar bedeutet r die höchste Potenz, mit der x vorkommt; in deinem Falle also r = 1 . Und k steht für die Ordnung der Wurzel; k = 2 weil Quadratwurzel.



      x  =:  1 / z ²       (  1b  )



     ( 1b ) einsetzen in deine Funktion



      F  (  x  )  :=  sqr  (  x  +  3  )  -  sqr  (  x  )  =        (  2a  ) 

           =  F  (  z  )  =  sqr  (  1 / z ²  +  3  )  -  sqr  (  1 / z ²  )  =       (  2b  )   

           =  ( 1 / z )  [  sqr  (  3  z  ²  +  1  )  -  1  ]          (  2c  )


     Die Ly costransformation ist genau so gebastelt, dass die Potenz, die wir vor die beiden Wurzeln ziehen, z ^  1 ist. Wie unter ( 1a ) vermerkt, geht jetzt aber im Limes z gegen Null.



     Nun ist aber ( 2c ) schlicht und ergreifend der Differenzenquotient  (  DQ  )


                                    f ( z ) - f ( 0 )

       F  (  z  )  =         --------------------------          (  3a  )

                                     z - 0


    wobei in ( 3a ) gesetzt wurde


     f  (  z  )  :=  sqr  (  3  z  ²  +  1  )    (  3b  )


   Der Grenzwert des DQ in ( 3a ) ist natürlich nichts weiter als die Ableitung f ' ( 0 )



     f  '  (  z  )  =  3  z  /  sqr  (  3  z  ²  +  1  )  ===>  0     (  3c  )



    Einmal bekam ich einen empörten Kommentar

  " Für was lernen wir eigentlich ' Definitionsbereich ' , wenn ich doch die Aufgabe lösen kann, indem ich den Definitionsbereich transformiere? "

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