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dn=\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -2\sqrt { 2 } { n }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }l

im n→∞

$$dn=\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -2\sqrt { 2 } { n }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }$$

Kann mir jemand den Lösungsweg zeigen? Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

von

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\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -\sqrt { 8{ n }^{ 3 } }

√(8n^3 - 1) - √(8n^3)

= (√(8n^3 - 1) - √(8n^3))(√(8n^3 - 1) + √(8n^3))/(√(8n^3 - 1) + √(8n^3))

. |Ab hier benutzt, dass n> 1

= (8n^3 - 1 - (8n^3))/(√(8n^3 - 1) + √(8n^3))

= -1 /(√(8n^3 - 1) + √(8n^3)) |Grenzwert n --> unendlich

-------> 0.

Anmerkung: Differenzen von Wurzeln, kannst du oft mit dem 3. Binom besser in der Griff bekommen.

Beachte daher auch die "ähnlichen Fragen" bei denen Differenzen von Wurzeln vorkommen.

von 162 k 🚀

alles klar jetzt hab ich verstanden.Danke.

Bei deiner anmerkung schreibst du differenzen von wurzeln, aber gilt das nicht auch für summen?

und nochmals danke für die Hilfe

+1 Daumen
Wenn du deinen zweiten Summanden umschreibst und die Vorfaktoren in die Wurzel ziehst, erhältst du:
$$2*\sqrt { 2 } *\sqrt { { n }^{ 3 } } =\quad 2*\sqrt { { 2n }^{ 3 } } =\quad \sqrt { 4*2*{ n }^{ 3 } } =\quad \sqrt { 8*{ n }^{ 3 } }  $$
Reicht dir das?
von 8,8 k

ehrlich gesagt nicht. ich habe nicht verstanden was man davon haben soll.Wäre nett wenn sie mir das vielleicht anders erklären könnten

Setze das doch in die Gleichung ein:

$$\sqrt { 8{ n }^{ 3 }-1 } -\sqrt { 8{ n }^{ 3 } }  $$

Jetzt siehst du doch direkt den Grenzwert.

Aber ist das denn nicht ∞ - ∞ und damit undefiniert? sorry ich verstehs nicht

Da steht in beiden Summanden doch beinahe das selbe für sehr große n.
Das heißt doch, dass wenn n gegen unendlich läuft, so nehmen die Wurzeln einen Wert an, der sich immer mehr und mehr annähert.
Der Grenzwert ist damit 0.
0 Daumen

Ich wiederhole mich.


https://www.mathelounge.de/235787/hilfe-bei-grenzwertberechnung


Zunächst mal substituieren wir x := 8 n ³


lim sqr ( x - 1 ) - sqr ( x )     ( 1 )


Bitte beschäftige dich unter dem angegebenen Link mit dieser z-Transformation, einer verallgemeinerten ===> Inversion am Einheitskreis ( die Technik an sich ist ja uralt. ) Nennen wir sie die LG-Transformation; L wie L-y-c-o-s ( ein Unwort in diesem Forum ; der Editor beißt es weg ) und G wie Godzilla. Die Transformationsformel lautet


x ^ k := 1 / z ^ n     ( 2a )


wobei k die höchste Potenz von x ist ( also k = 1 ) und n die Ordnung der Wurzel ( also n = 2 wegen quadratwurzel )


k   = 1 ; n = 2 ===> x = 1 / z ²    ( 2b )


Dann wird ( 1 )   ( übrigens ganz analog dem Beispiel in dem Link )


sqr ( x - 1 ) - sqr ( x ) = ( 1/z ) [ sqr ( 1 - z ² ) - 1 ]     ( 3a )


Jetzt denk mal nach. Wer hat jetzt Recht? Dieser Limes n ===> ( °° ) oder ich bzw. dieses anonyme Genie von L-y-c-o-s?  In ( 3a ) taucht eine Funktion auf, die du irgendwo schon mal gesehen haben dürftest: der Einheitskreis


f ( z ) := sqr ( 1 - z ² )   ( 3b )


Und zwar ist ( 3a ) doch nichts anderes als die SEHNENSTEIGUNG des EINHEITSKREISES , genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Im Grenzwert z ===> 0 ergibt das die Tangentensteigung; und auch ohne Rechnung weißt du: Die ist Null.

von 1,2 k

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