Zeige, dass die Ungleichung gilt: |f(x)-f(y)|<|x-y|

Question

Sei \(I=[1,\infty) \subset \mathbb{R}\) und \(f(x)=x+1/x \).

Zeige dass gilt:

\(f:I\rightarrow I\) $$|f(x)-f(y)|<|x-y|$$

Answer 1

|f(x) - f(y)| < |x - y|

|x + 1/x - y - 1/y| < |x - y|

|(x - y)·(x·y - 1)/(x·y)| < |x - y|

(x - y)²·(x·y - 1)² / (x·y)² < (x - y)²

(x·y - 1)² / (x·y)² < 1

(x·y - 1)² < (x·y)²

(x·y)² - 2·x·y + 1 < (x·y)²

- 2·x·y + 1 < 0

2·x·y > 1

Wenn x und y >= 1 sind ist das doch aber immer erfüllt.

Comments

Das ist aber nur ein Teil der Antwort. Die Tatsache das \(f:I\rightarrow I\) gelten soll ist damit noch nicht beantwortet.

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x + 1/x ≥ 1

x² + 1 ≥ x

x² - 2x + 1 ≥ - x

(x - 1)² ≥ - x

Das ist doch aber für positive werte von x auch immer gegeben.

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Ich habe ja nicht bezweifelt das es stimmt sondern nur gesagt, dass es mit dem ertsten Teil noch nicht bewiesen wurde.

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Und ich war davon ausgegangen, dass wenn ich den schwierigeren Teil übernehme, der Fragesteller auch noch diese Kleinigkeit nachweisen kann.

Wenn ich hier an der Aufgabe Schwierigkeiten gehabt hätte dann auch eher im zweiten Teil. So hatte ich zuanfang versucht den linken Teil gleich zu quadrieren und nicht erst zu faktorisieren. Das ist aber deutlich aufwendiger gewesen woraufhin ich dann lieber zuerst faktorisiert habe.

Leider bekommt der Fragesteller so aber nicht das man durchaus auch mal einen falschen Weg einschlagen muss um sich zu besinnen und dann etwas anderes probieren kann.