Zeigen Sie die Ungleichung: I IxI - IyI I ≤ Ix+yI?

Question

die Frage ist (zeigen sie I IxI - IyI I ≤  Ix+yI

ich weiss nicht von wo soll ich anfangen

Grüße

Comments

Gehört auf die rechte Seite nicht ein Minus?

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Nein So ist die Funktion richtig

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Ok, natürlich gilt diese Ungleichung auch.

Answer 1

Für alle $x,y\in\mathbb R$ gilt offenbar $-\vert xy\vert\le xy$$$\Leftrightarrow x^2-2\vert xy\vert+y^2\le x^2+2xy+y^2$$$$\Leftrightarrow(\vert x\vert-\vert y\vert)^2\le(x+y)^2$$$$\Leftrightarrow\big\vert\vert x\vert-\vert y\vert\big\vert\le\vert x+y\vert.$$

Answer 2

I IxI - IyI I ≤  Ix+yI  | quadrieren

( IxI - IyI )²  ≤ ( x+y )²
x² - 2*|x| *|y| + y²  ≤ x^+ 2xy + y²
- 2* | xy | ≤ 2xy  | : -2
- 2* | xy | ≤ 2xy

| xy | ≥ xy   stets wahr