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Sei X eine endliche Menge mit n Elementen.
Wieviele bijektive Abbildungen X nach X gibt es? 

Und dann muss ich meine Behauptung beweisen.
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Wieviele bijektive Abbildungen X nach X gibt es?  Vorschlag für eine Behauptung: n! 

Und dann muss ich meine Behauptung beweisen. Versuche es mit vollständiger Induktion. 
Eine ausführliche Verankerung (n=1, n=2, n=3, n=4...)  zeigt dir, ob meine Vermutung stimmen kann, oder ob du eine andere Vermutung aufstellen kannst.

Hi,

So, ich hab nun leider keine Ahnung was ich machen bzw. wie ich anfangen muss. Ich möchte das ganze ja verstehen, können Sie mir bitte helfen?

1 Antwort

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Wenn die Abbildung von X nach X bijektiv ist, werden ja niemals zwei verschiedene

auf ein gleiches Element abgebildet und alle kommen als Bilder vor.

Wenn du also   f(x1)   f(x2)    f(x3)  .....   f(xn ) hinschreibst,

sind das die gleichen Elemente wie x1   x2   x3   .......  xn  nur

eben in einer eventuell anderen Reihenfolge.

Also gibt es genauso viele bij. Abb'en wie es unterschiedliche Reihenfolgen gibt;

denn wenn bei zwei Abb'en die Reihenfolgen gleich sind, ist beides die gleiche

Abbildung.

Und dass die Anazhl der verschiedenen Reihenfolgen n ! ist, beweist man leicht mit

vollst. Induktion.

Avatar von 287 k 🚀

beweist man "leicht"? Für dich ist leicht, ja, aber trotzdem danke )

Möchtest du den Induktionsbeweis sehen ?

Ja, sehr gerne. VI ist immer so schwer für mich..

mathef kannst du mir bitte der Induktionsbeweis auch zeigen?

Mfg

Beh: Für die Anordnung von n verschiedenen Objekten gibt es n! Möglichkeiten.

Ind. anf.  1 Objekt   1! = 1  passt.

Wenn es für n Objekte gilt und ich will n+1 Objekte anordnen, dann kann ich aus

jeder Anordnung der ersten n Stück das n+1 Objekt entweder vor das 1. stellen

oder vor das 2. ( also zwischen 1. und 2. ) oder zwischen 2. und 3. etc.

und kann das neue aber auch hinter das letzte stellen.

So erhalte ich aus jeder Anordnung der n ersten dann n+1 verschiedene

Anordnungen für alle n+1 Objekte.

Weil das mit jeder Anordnung der ersten n klappt, und auch jedes Mal etwas neues

entsteht; denn das n+1 kommt ja unter den ersten n nicht vor, erhält man

Anzahl der Anordnungen von n Stück * (n+1)

wegen Ind. vor. also

N ! * (n+1) = (n+1) !    q.e.d.

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