Ist f differenzierbar und homogen vom Grad alpha, so gilt

Question

kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben oder einen Lösungsansatz für eine der Aufgaben? Ich weiß da leider nicht weiter :/

Answer 1

Hi,
es gilt ja $$f(\lambda x) = \lambda^\alpha f(x)$$
Differenzieren der linke Seite nach $\lambda$ ergibt $$\sum_{j=1}^n \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_j} \cdot x_j$$ und differenzieren der rechten Seite ergibt $$\alpha \cdot \lambda^{\alpha -1} f(x)$$ Also gilt insgesamt
$$\sum_{j=1}^n \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_j} \cdot x_j = \alpha \cdot \lambda^{\alpha -1} f(x)$$ Für $\lambda = 1$ folgt
$$(1) \quad \sum_{j=1}^n \frac{\partial f(x)}{\partial x_j} \cdot x_j = \alpha \cdot f(x)$$
(1) nach $x_i$ partiell ableiten ergibt
$$(2) \quad \sum_{j=1}^n \left[ \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\ \partial x_j} \cdot x_j + \frac{\partial f(x)}{\partial x_j}\ \delta_{ij} \right] = \alpha \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$$
Das ergibt
$$(3) \quad \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i\ \partial x_j} \cdot x_j = (\alpha -1) \cdot \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$$ Das ist Teil (a) der Aufgabe.

zu (b)
(3) mit $x_i$ multiplizieren und über $i=1 \cdots n$ aufsummieren und dabei (1) verwenden, ergibt Teil (b)