Von Zeilensummennorm über Spaltensummennorm zu Konditionszahl erläutern?

Question

Hilfe bei "Erklären" und "Erläutern" - Aufgabe

hallo

gegeben seien folgende Informationen:

Spaltensummennorm:

\( \|A\|_{1}=\max _{j=1, \ldots, n} \sum \limits_{k=1}^{n}\left|a_{k, j}\right| \), 

Zeilensummennorm:

\( \|A\|_{\infty}=\max _{k=1, \ldots, n} \sum \limits_{j=1}^{n}\left|a_{k, j}\right| \).

ein LGS  Ax = y mit

\( A=\left(\begin{array}{cc}{10^{-5}} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right) \) 

und ein LGS mit Rx = y° mit

\( R=\left(\begin{array}{cc}{10^{-5}} & {1} \\ {0} & {99999}\end{array}\right) \) 

Konditionszahl ist definiert durch (hier speziell die || * |_∞-Norm|):

\( \kappa(A)=\|A\|_{\infty}\left\|A^{-1}\right\|_{\infty} \)

also allgemein: k(A) = ||A|| * ||A^-1||

Die Aufgabe lautet nun:

(a) Bestimmen sie für die Matrix \( A \) die Konditionszahlen \( \kappa_{1}(A) \) und \( \kappa_{\infty}(A) \) bezüglich der \( \|\cdot\|_{1}- \) bzw. der \( \|\cdot\|_{\infty}- \) Norm. Erläutern Sie, was diese Zahlen für die zu erwartende Genauigkeit der Lösung bedeutet, wenn eine relative Eingabegenauigkeit von \( \frac{\|y-\tilde{y}\|}{\|y\|}<0,5 \cdot 10^{-6} \) bezüglich der jeweils betrachteten Norm garantiert ist.
(b) Bestimmen Sie auch die Konditionszahlen \( \kappa_{1}(R) \) und \( \kappa_{\infty}(R) \)
(c) Erklären Sie anhand Ihrer Ergebnisse in (a) und (b) in eigenen Worten, warum das Vorgehen, das System mit der erweiterten Koeffizientenmatrix \( [A | b] \) durch das System \( [R | \hat{y}] \) zu ersetzen, aus numerischer Sicht problematisch ist, und benennen Sie eine Alternative.

für (b) habe ich für  k_∞(R) und k₁(R) rund 10¹⁰ raus. (ich sehe zwischen Spaltensummen- und Zeilensummennorm an dieser Matrix keinen großen Unterschied.)

bei (a) könnte ich auch die Konditionszahlen bestimmen, aber ich kann die "Erläutern" (a) und "Erklären"(c)-Aufgaben nicht.

Riesen Danke für Eure Antworten.

Answer 1

Hi,
bei (a) sind die Konditionszahlen \( 4 \) und zwar für beiden Normen.
Für die Konditionszahl gilt folgendes
$$ \frac{\|\Delta x\|}{\|x\|} \le (|A\| \cdot \| A^{-1} \|) \cdot \frac{\|\Delta y\|}{\|y\|} $$
wenn man annimmt, das die Matrix \( A \) exakt ist. D.h. die Konditionszahl gibt an, wie sich Störungen im Vektor \( y \) auf die Lösung \( x \) auswirken wenn man die Gleichung \( Ax=y \) betrachtet.

Im Fall (b) ist es so, die relative Genauigkeit von \( y \) beträgt \( \frac{1}{2} \cdot 10^{-6}\) und die Konditionszahl für \( A \) ist \( 4 \), dann ist die relative Genauigkeit von \( x\) kleiner als \( 2 \cdot 10^{-6} \)

zu (c)
Die Matrix \( R \) ist offentsichlich dadurch entstanden, dass man die erste Zeile von \( A \) mit \( 10^5 \) multipliziert hat und dann Zeile 1 und Zeile 2 subtrahiert hat.
Die Kondition der Matrix ist \( 10^{10} \). Hätte man die zweite Zeile mit \( 10^{-5} \) multipliziert und dann Zeile 1 und Zeile 2 subtrahiert hätte man folgende Matrix bekommen
$$  \begin{pmatrix}  10^{-5} & 1 \\ 0 & 1-10^{-5} \end{pmatrix} $$ und die Kondition wäre \( 2 \cdot 10^5 \) also deutlich kleiner die Kondition der Matrix \( R \)

Allgemein gilt, bei equilibrierten Matrizen ist das Pivotelement das maximale Spaltenelement