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2. Betrachten Sie die Di erentialgleichung
y´ = -x/y
; (x; y) ausU := R x ]0;1[ :

(a)  Erfullt die Di erentialgleichung die Voraussetzungen des Satzes von
Picard-Lindelof?

(b)  Bestimmen Sie die Losungsgesamtheit der Di erentialgleichung. Geben
Sie dabei fur jede Losung ihren maximalen De nitionsbereich an.

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zu a) 

Wenn ich das richtig sehe, dann gilt:

Für  I,J ⊂ ℝ  ,  g: I → ℝ   stetig  und  h: J → ℝ  stetig differenzierbar erfüllt jede DGL y' = g(x) • h(y) mit getrennten Variablen diese Voraussetzungen.

vgl. Satz DG.6 und Satz DG.12 in

http://www.math.uni-konstanz.de/~stoss/mathphys-DG.pdf

zu b)

Da für (x,y) ∈ ℝ x  ]0 ; 1[

 y = √(-x2 + c) mit Dy =  ] - √c ; √c [            für c ∈ ]0 ; 1]   

                                     ] -√(c-1) ; √( c-1) [  für c ∈ ] 1 ; ∞ [ 

offensichtlich für (x0|y0) ∈ Dy x ]0,1[ genau eine Lösung der DGL hergibt, sollte dies nach dem Satz von Picard -Lindelöf die allgemeine Lösung  der DGL sein.  

Man kann die allgemeine Lösung der DGL aber auch direkt berechnen:

y' = -x / y , also  dy/dx = -x/y)   mit  (x,y) ∈ ℝ x ]0;1[

Trennung der Variablen:    y dy = -x dx

  ∫ y dy = ∫ x dx

1/2 y2 = -1/2 x2 + c1     mit c1 ∈ ℝ

y2 = - x2 + c2                 mit c2 := 2c1 ∈ ℝ

Die Gleichung ist nur für c2 > 0  erfüllbar  ( y ∈ ]0;1[ )

y = √( - x2 + c )                  mit c ∈ ℝ+     [  |y| = y ≠ 0 wegen y ∈ ]0;1[ [

für die verschiedenen c ergeben sich aber unterschiedliche Definitionsmengen ⊂ ℝ für y:

0 < √( - x2 + c )  < 1

0 < -x2 + c < 1      | + x2

x2 < c   und  x2 > c-1

1. Fall: c ∈ ]0 ; 1]       y = √( - x2 + c )     mit  Dy = ] - √c ; √c [

2. Fall: c ∈ ]1 ; ∞ [     y = √( - x2 + c )      mit Dy = ] - √(c-1) ; √( c-1) [

Gruß Wolfgang

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