Quadratische Funktion? Eintrittspreis für Theater optimieren.

Question

Hallo ich komme bei meiner Mathe Aufgabe nicht voran, ich weiß nicht wie ich anfangen soll oder gar lösen.

Die Aufführung eines Jugendtheaters haben bei einem Eintrittspreis von 8€ durchschnittlich 200 Besucher. Eine Umfrage ergibt, dass eine Preisermäßigung um 0,50€ (bzw. 1,00€, 1,50€, ...) die Anzahl der Zuschauer um 20 (bzw. um 40,60, ...) ansteigen lassen würde.

Bestimme den Eintrittspreis, der maximalen Einnahmen erwarten lässt.

Bitte helft mir, bin gerade am verzweifeln :(

Liebe Grüße

Answer 1

Die Aufführung eines Jugendtheaters haben bei einem Eintrittspreis von 8€ durchschnittlich 200 Besucher. Eine Umfrage ergibt, das eine Preisermäßigung um 0,50€ (bzw. 1,00€, 1,50€, ...) die Anzahl der Zuschauer um 20 (bzw. um 40,60, ...) ansteigen lassen würde.

Bestimme den Eintrittspreis, der maximalen Einnahmen erwarten lässt.

p(x) = - 0.5/20 * (x - 200) + 8 = 13 - 0.025·x

E(x) = p(x) * x = 13·x - 0.025·x^2

E'(x) = 13 - 0.05·x = 0 --> x = 260 Personen

p(260) = 6.50 €

E(260) = 1690 €

Comments

Vielen Dank für die Detalierte Rechnung :)

Answer 2

 8€ durchschnittlich 200 Besucher. Eine Umfrage ergibt, dass eine Preisermäßigung um 0,50€ (bzw. 1,00€, 1,50€, ...) die Anzahl der Zuschauer um 20 (bzw. um 40,60, ...) ansteigen lassen würde.

Die Besucherzahl x ändert sich linear.

Also x(p) = a*p + b, wobei a und b unbekannt sind.

Du weisst aber x(8) = 200

x(7.5) = 220 

 x(7) = 240 

usw. 

Mit x(8) = 200 und x(7) = 240 kannst du schon a und b bestimmen.

Dann geht es um die Einnahmen E = Besucherzahl * Preis

E = x(p) * p 

E(p) = (a*p + b) * p 

Hier ist nun die Variable p quadratisch drinn und du kannst einen Scheitelpunkt der Parabel suchen. 

Zahlen:

x(8)= 200

x(7) =240       ==> Steigung a = -40

x(6) = 280

x(0) = 200 + 8*40= 520

x(p) = - 40p + 520 

E(p) = (-40p + 520) * p     . Nullstellen sind bei p=0 und p= 13. Mitte wäre bei p= 6.5

==> Mit p= 6.50€ wären die Einnahmen maximal.

Comments

Vielen Dank für die Detalierte Angabe . Ist das Ergebnis dann p(260) = 6,50€

        E(260) = 1690€

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Ich habe oben noch meine Zahlen ergänzt.

Verlangt ist mE nur der optimale Eintrittspreis . Also der  Eintrittspreis 6.50€.

Natürlich kann man jetzt mit meiner Funktion auch noch x(6.5) = -40*6.5 + 520 = 260   Personen

und E(6.5) = (-40*6.5 + 520) * 6.5 = 260*6.5 = 1690   Euro Einnahmen

Der_Mathecoach hat die Aufgabe wohl eleganter gelöst.

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Vielen Dank für die Ergänzung .. Kannst Du mir bei einer weiteren Aufgabe behilflich sein ich habe keine Ahnung wie ich dort anfangen soll um eine Struktur dort rein zu bringen. Foto im Anhang :)

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Liebe Grüße 

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