Winkel zwischen zwei Vektoren; den Diagonalen eines Parallelogramms aus a=2m+n und b=m-2n.

Question

Gegeben sind 2 Einheutsvektoren m und n. Winkel zwischen diesen Vektoren ist 30º. Ein Parallelogramm wird von den Vektoren a=2*m+n und b=m-2*n aufgespannt. Welchen Winkel alpha bilden die Diagonalen miteinander.

Comments

Ich würde das mit dem Skalarprodukt versuchen. Man muss aber mit Vorzeichen… extrem aufpassen.

Ideal wäre wenn im Zähler schon 0 rauskäme. Wenn nicht, muss man den Nenner auch noch berechnen:

2 Einheutsvektoren m und n. Winkel zwischen diesen Vektoren ist 30º. 

heisst m*n = cos (30°), da |n|=|m|=1

Ein Parallelogramm wird von den Vektoren a=2*m+n und b=m-2*n aufgespannt. 

Diagonalenvektoren: 

e = a+b = 3m - n

f= a-b = -m + 3n

Welchen Winkel alpha bilden die Diagonalen miteinander?

e*f = |e|*|f|*cos W

cos W = (3m - n)(-m+3n) / (| 3m - n|*|3n-m|)

= (-3m^2 - 3n^2 + 9mn + mn) / Nenner

= (-3- 3 + 10(cos 30°)) / Nenner

Wenn man bis hier keinen Rechenfehler findet: Nenner bearbeiten.

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Müsste f dann nicht wie folgt lauten

f = a - b = m + 3n

Answer 1

Es geht bestimmt einfacher.
Aber hier ein Weg wie man zum Ziel kommen muss.

m = [1, 0] (Einfach ein Vektor nur in Richtung x-Achse)
n = [cos(30), sin(30)] = [√3/2, 1/2] (Vektor um 30 Grad nach oben)

a = 2 * m + n = [√3/2 + 2, 1/2]
b = m - 2 * n = [1 - √3, -1]

a * b = [√3/2 + 2, 1/2] * [1 - √3, -1] = - 3·√3/2
|a| = |[√3/2 + 2, 1/2]| = √(2·√3 + 5)
|b| = |[1 - √3, -1]| = √(5 - 2·√3)

Winkel zwischen a und b

α = arccos(a * b / (|a| * |b|)) = arccos(- 3·√3/2 / (√(2·√3 + 5) * √(5 - 2·√3))) = 136.1021137

Comments

Danke... aber die Frage war : Winkel zwischen Diagonalen, also zwischen a+b und a-b :)

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Stimmt

c = (a + b) = [√3/2 + 2, 1/2] + [1 - √3, -1] = [3 - √3/2, - 1/2]
d = (a - b) = [√3/2 + 2, 1/2] - [1 - √3, -1] = [3·√3/2 + 1, 3/2]

c * d = [3 - √3/2, - 1/2] * [3·√3/2 + 1, 3/2] = 4·√3
|c| = √(10 - 3·√3)
|d| = √(3·√3 + 10)

α = arccos(c * d / (|c| * |d|)) = arccos(4·√3 / (√(10 - 3·√3) * √(3·√3 + 10))) = 35.81752564

Aber wie gesagt. Ich glaube das sollte auch einfacher gehen.