-5/24x^4+5x^3-40x^2+320/3x

Question

Wie löse ich diese Formel damit ich die Nullstellen mit der pq-Formel berechnen kann?

Liebe Grüße

Answer 1

$$  -\frac{5}{24}x^4+5x^3-40x^2+\frac{320}{3}x = -\frac{5}{24}(x-8)^3 $$ Jetzt kann man die Nullstellen ablesen.

Answer 2

1. Gleichung aufstellen:

   -5/24x⁴-5x³-40x²-320/3x = 0

2. Gleichung lösen. Dazu

   1. x ausklammern und Satz vom Nullprodukt anwenden.

      ⇔ (-5/24x³-5x²-40x-320/3)·x = 0

      ⇔ -5/24x³-5x²-40x-320/3 = 0 oder x = 0

      Die Gleichungen werden jetzt einzeln gelöst. Die Lösung der Gleichung x = 0 ist offensichtlich.

   2. Gleichung -5/24x³-5x²-40x-320/3 = 0 lösen. Dazu wird die Gleichung so multipliziert, dass keine Brüche mehr vorkommen, in diesem Fall also mit 24:

      -5x³-120x²-960x-2560 = 0

   3. Nullstelle raten. Kandidaten sind die Teiler des konstanten Summanden und deren Gegenzahlen. In diesem Fall also die Teiler von 2560. Prüfe für jeden, ob er eine Nullstelle ist. Falls du so keine Nullstelle findest, dann Taschenrechner

   4. Polynomdivision durch (x - Nullstelle)

   5. Nullstellen des Ergebnisses der Polynomdivision bestimmen.

Answer 3

x=8

- 5/24·x⁴ + 5·x³ - 40·x² + 320/3·x = 0 

mit 24 multiplizieren und ausklammern:

- 5·x·(x³ - 24·x² + 192·x - 512) = 0   →  x₁ = 0

x³ - 24·x² + 192·x - 512 = 0       x₂ = 8  musst du wohl "raten" und ausprobieren.

[ oder siehst du x³ - 24·x² + 192·x - 512 = (x-8)³ direkt ?  :-) 

(x-8)³ = x³ - 3 • 8 • x² + 3 • 8² • x + 8³ nach dem binomischen Lehrsatz ]

Polynomdivision (Hornerschema): 

(x³ - 24·x² + 192·x - 512) : (x-8) =  x²  - 16·x + 64 = (x-8)²

x_2,3,4 = 8 ist also eine dreifache Nullstelle

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Infos über Polynomdivision und Hornerschema:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

www.youtube.com/watch?v=tMehEcEsRsY

Gruß Wolfgang

Answer 4

die Nullstellen: