Basen für Kern und Bild zu linearen Abbildungen geben

Question

die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Geben sie jeweils zu folgenden linearen Abbildungen Basen für Kern und Bild an:

(a) f: R^2 → R^2 ; f(x,y) := (x+3y,2x)

(b) g: {h | h: R → R linear } → R ;  g(h) := h(0)

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

Bild(f) ={ \(\begin{pmatrix} x+3y \\ 2x \end{pmatrix}\) | x ∈ ℝ und y∈ℝ} 

= { x • \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) + y • \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) | x ∈ ℝ und y∈ℝ}

{ \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) , \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)} ist linear unabhängig und erzeugt Bild(f), ist also eine Basis.

\(\begin{pmatrix} x+3y \\ 2x  \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\)  →  x=0 und y=0

Kern(f) = { \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)}  mit  Basis = { }

Gruß Wolfgang