Basen für Kern und Bild zu linearen Abbildungen geben II

Question

die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Geben sie jeweils zu folgenden linearen Abbildungen Basen für Kern und Bild an:

g: {h | h: R → R linear } → R ;  g(h) := h(0)

Wie muss ich vorgehen?

Answer 1

wenn h: R → R linear ist, dann gibt es ein c aus R und es gilt für jedes x  h(x) = c*x

also gilt immer h(0)=0 und damit  g(h) = 0 für alle h aus dem Definitionsbereich.

Damit ist Bild(h) = {0} mit der Basis  {} leere Menge.

Und da alle Elemente des Def.breiches auf 0 abgebildet werden ist der

Kern = {h | h: R → R linear }  

und wegen  ( s.o.) h(x) = c*x wird der erzeugt von der identischen Abbildung id,

also Basis { id} ; denn id ist lin. unabh.