Bild und Kern mit gegebenen Basen einer linearen Abbildung bestimmen

Question

Habe bereits a) und d) gelöst, brauche nur noch b) und c) bitte!

Text erkannt:

Es seien die folgenden Basen des \( \mathbb{R}[x]_{\leq 1}=\{a x+b \mid a, b \in \mathbb{R}\} \) gegeben:
$$ \mathcal{B}_{1}=\{x+2,1\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\{-2 x+1, x+3\} $$
Außerdem sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}[x]_{\leq 1} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 1} \) durch die folgenden Bilder gegeben
$$ f(x+2)=-2 x+1, \quad f(1)=x+3 . $$
a) Bestimmen Sie \( f(3 x) \).
b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(f)) \).
c) Geben Sie eine Basis von \( \operatorname{Kern}(f) \) an.
d) Bestimmen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, \mathcal{B}_{2}} \).

Answer 1

Hallo :-)

Das Bild von \(3x\) unter \(f\) kannst du durch geschicktes Linearkombinieren der gegebenen Bilder berechnen. Es gilt ja \(3x=3\cdot (1\cdot (\underline{x+2})-2\cdot \underline{1})\).

Zu b). Da kannst du diesen Ansatz machen:

\(f(a\cdot x+b)=a\cdot f(x)+b\cdot f(1)\). Jetzt suchst du die Bildvektoren \(f(x)\) und \(f(1)\). Dafür setze ich mal die vorhandenen Bilder ein:

\(f(1\cdot x+2)=1\cdot f(x)+2\cdot f(1)\stackrel{!}{=}-2x+1\\[10pt] f(0\cdot x+1)=0\cdot f(x)+1\cdot f(1)\stackrel{!}{=}x+3\). Das ist jetzt nur noch ein harmloses lineares Gleichungssystem, was du nach den Bildvektoren \(f(x)\) und \(f(1)\) auflöst.

Prüfe anschließend \(f(x)\) und \(f(1)\) auf lineare Abhängigkeit.

Zu c). Nutze die Ergebnisse aus b).

Zu d). Es steht schon alles da.

Comments

Hallo, sorry für die blöde Frage aber womit stelle ich da ein Gleichungssytem auf?

und für c stehe ich immer noch auf dem Schlauch...

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Der Ansatz ist sich eine lineare Abbildung zu konstrieren, mit der Form

\(f(a\cdot x+b)=a\cdot f(x)+b\cdot f(1)\). Danach habe ich die gegebenen Werte nur in diese Abbildung eingesetzt. Damit hat man ein lineares Gleichungssystem, was zu lösen ist.

Ansonsten solltest du dich nochmals mit den Grundlagen von Bild und Kern einer linearen Abbildung beschäftigen.

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könntest du nochmal genauer sagen, wie du bei der a) vorgehst?

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Ich habe die Bilder \(f(x+2)=-2 x+1, \quad f(1)=x+3 \) gegeben und suche jetzt das Bild \(f(3x)\). Dazu nutze ich die beiden Bildvektoren und dessen Eingabevektoren \(x+2\) und \(1\) und erzeuge damit durch Linearkombination den Eingabevektor \(3\cdot x\). Entweder man sieht das sofort oder du musst so eine Linearkombination finden. Wenn du es finden willst, dann suchst du also Koeffizienten \(\alpha,\beta\in \mathbb{R}\), sodass \(3\cdot x=\alpha\cdot (x+2)+\beta\cdot 1\) gilt. Das geht über Koeffizientenvergleich:

$$3\cdot x=\alpha\cdot (x+2)+\beta\cdot 1=\alpha\cdot x+(2\cdot \alpha+\beta),$$

also ist jeweils \(\alpha=3\) und \(2\cdot \alpha+\beta=0 \Rightarrow \beta = -6\). Also hat man $$3\cdot x=3\cdot (x+2)-6\cdot 1=3\cdot ((x+2)-2\cdot 1).$$

Und das setze ich jetzt in \(f\) ein und nutze die Linearität von \(f\) (sonst funktioniert das gar nicht, falls \(f\) nichtlinear wäre):

$$ f(3\cdot x)=f\Big(3\cdot ((x+2)-2\cdot 1)\Big)=3\cdot f((x+2)-2\cdot 1)\\=3\cdot [f(x+2)-2\cdot f(1)]\stackrel{\text{bekannte Werte}}{=} 3\cdot [-2\cdot x+1-2\cdot (x+3)]\\=3\cdot (-4\cdot x-5)=-12\cdot x-15. $$

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Müsste es nicht -15 am Ende sein?

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Habs geändert. Danke.

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Hallo hallo97,

Wieso haben die beiden Gleichungen ein \(\stackrel{!}{=}\), ist dadurch das Gleichungssystem überhaupt lösbar?

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Das ,,!" über \(=\) ist eine Forderung die ich stelle. Ansonsten behandel ich das wie ein LGS und löse es. Ob es lösbar ist, sieht man dann... Wenn nicht, dann konnte ich die Werte nicht fordern.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.