Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung g: ℝ^n → ℝ^n gibt mit ker(g) = Im(f) und Im(g) = ker(f)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) gibt mit

\( \operatorname{ker}(g)=\operatorname{Im}(f) \text { und } \operatorname{Im}(g)=\operatorname{ker}(f) \)

Tipp: Benutzen Sie den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Abbildung.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei f : R n → R n eine lineare Abbildung. Zeige: Es gibt g : Rn → Rn mit ker(g) = Im(f) und Im(g) = ker(f)

Stichworte: abbildung,vektorraum,kern,matrix

Sei f : Rⁿ → Rⁿ eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung g : Rⁿ → Rⁿ  gibt mit
ker(g) = Im(f) und Im(g) = ker(f)

Answer 1

Seien m ∈ ℕ₀ , k₁, ..., k_m ∈ ℝⁿ und K := {k₁, ..., k_m} derart, dass K eine m-elementige Basis von ker(f) ist.

Seien k_m+1, ..., k_n ∈ ℝⁿ derart, dass B := {k₁, ..., k_n} eine Basis von ℝⁿ ist.

Sei g derart, dass

• g(v) = v für jedes v ∈ K und
• g(v) = 0 für jedes v ∈ B\K

ist. Dann erfüllt g die geforderten Eigenschaften.

Du musst nur noch begründen:

• Warum existiert K?
• Warum existiert B?
• Warum ist g wohldefiniert?
  
• Warum erfüllt g die geforderten Eigenschaften?