Bézierkurve: Bestimmen Sie den dritten Kontrollpunkt?

Question

Frage zum Thema Bézierkurven:

Die erste Aufgabe Skizze zeichnen habe ich gelöst. Die zweite Aufgabe, in der man den dritten Kontrollpunkt bestimmen soll leuchtet mir nicht so richtig ein:

Gegeben sind 4 Kontrollpunkte einer zweidimensionalen Bézier-Kurve p über dem Parameterintervall [0,1]: b₀(2,5), b₂(4,6) und und b₃(5,1). Bestimmen Sie die Kurvenpunkte p(0.25), p(0.5) und p(0.75) grafisch (in einer Skizze) mit Hilfe des de-Casteljau-Algorithmus.

Gegeben sind 2 Kontrollpunkte (1,1) und (5,1) einer zweidimensionalen Bézier-Kurve p über dem Parameterintervall [0,1]. Bestimmen Sie einen dritten Kontrollpunkt so, dass die Kurve am Parameterwert t=0,5 durch den Punkt (3,5) verläuft (d.h. p(0.5) = (3,5)) - Hinweis: de-Casteljau-Algorithmus.

Stellen Sie die Kurve aus a) mit Hilfe der Bernstein-Basis und mit Hilfe der Monom-Basis dar. Verifizieren Sie, dass p(0.5) = (3,5).

Gegeben ist das Kontrollpolygon einer Bézier-Kurve vom Grad 4: b₀(1,1), b₁(1,4), b₂(4,5), b₃(7,4) und b₄(6,1). Bestimmen Sie grafisch das Kontrollpolygon, das sich ergibt, wenn der Grad dieser Kurve auf 5 erhöht wird.

Das Intervall geht ja von 0 bis 1, wieso hat dann der zweite Kontrollpunkt ein x=5?

Ist das x des dritten Kontrollpunkts 0,5 und das y 3,5 und muss ich praktisch nur noch mit dem Dreiecksschema die fehlende Punkte berechnen?

b0=1,1

                  b1,0=?

b1=5,1                               b2,0=0.5 ,3,5

                 b1,1=-?

b2=?

Ich habe mit b0 und b1 den Punkt b1,0 berechnet:

(1-t)*a + t *b

X-Wert: (1-0,5)*1 + 0,5 *5= 3

y-Wert: (1-0,5)*1+0,5*1=1

b1,0= 3,1

Dann habe ich mit dem Punkt b1,0 und dem Punkt b2,0 versucht den Punkt b1,1 zu berechnen:

b1,1= (1-0,5)* b1,0 +0,5 *x,y =b2,0

X-Wert:-2

Y-Wert: 6

Soviel ich weiß, darf der x-Wert aber nicht negativ sein. Insgesamt sehen die Punkte komisch aus. Kann mir hier jemand helfen?

Answer 1

Ich habe es vor lauter Prüfungsstress nicht mehr klar gesehen. Habe es nun gelöst.

Der letzte Punkt b2,0 ist x=3 und y=5. O.5 ist nur das Teilungsverhältnis. Habe aus den zwei Zahlen fälschlicherweise eine 3,5 gemacht.

Hier die Auflösung:

b0=1,1
−−−−−−−−−−−−−−b1,0=3,1
b1=5,1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−b2,0=3,5
−−−−−−−−−−−−−−b1,1=3,9
b2=1,17

Man kann die Lösung mit einer Zeichnung kontrollieren:

Man verbindet b0, b1 und b2, teilt dann die Strecke zwischen den Punkten immer durch 0,5 und setzt einen Punkt. Die neuen Punkte verbindet man mit den anderen neuen Punkten. Die Strecke zwischen den neuen Punkten wird wieder durch 0,5 geteilt und mit einem Punkt an genau dieser Stelle versehen. Wir erhalten so den Punkt X=3 und Y=5 für t=0,5.